Méthode d'euler

Golgup · 25-09-2011 09:05:10

J’essaye de comprendre pourquoi ça ne marche pas pour a=20.

Soit Z= 1+ie^(ai), tu traces le repère, puis le module du point d'abscisse 1 ainsi que le vecteur d'angle a+pi/2 (et de module 1 ,sinon ça ne marcherait pas) puis on additionne géométriquement les vecteurs et alors on a 2arg(Z)=a+pi/2 et donc systématiquement [tex]Z=\left|Z\right|{e}^{i\left(\frac{a}{2}+\frac{\pi }{4}\right)}[/tex] et maintenant je vous demande pourquoi ça ne marche pas!

jpp · 25-09-2011 09:58:09

Bonjour.

j'ai trouvé un truc comme ça:

[tex](1 + i.e^{i.a})^n = 2^n.\left(\cos(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{4})\right)^n .\left[\cos\left(n.(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{4})\right) + i.\sin\left(n.(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{4})\right)\right][/tex]

j'ai vérifié numériquement avec [tex]a = \frac{\pi}{6}[/tex] et [tex]n = 10[/tex] par exemple.

ça donne [tex]\left(1+i.e^{i.\frac{\pi}{6}}\right)^{10} = -0.5 - 0.866025.i[/tex] pour cet exemple. si je n'ai
pas fait d'erreur.

à plus.

n.b. et ça marche avec a = 20

Dernière modification par jpp (25-09-2011 10:04:20)

totomm · 25-09-2011 10:39:50

Bonjour,

Pour comprendre, Je reviens à la méthode du triangle :
A extrémité du vecteur (1,0), puis B tel que \(\vec{AB}\)= cos(a) +i sin(a).
Soit C l'extrémité du vecteur \(\vec{AB}\) tourné de \(\pi / 2\).

On a vu que \(\theta\) = (1-sin(a)) + i cos(a) ainsi
l'angle \(\theta\ est\ l'angle\ \widehat{AOC}\), alors que l'angle a/2 est \(\widehat{AOB}\)
Si vous faites ensuite tourner le vecteur \(\vec{OB}\) de \(\pi / 2\), vous avez effectivement l'angle \(\theta\)....
et c'est bien le vecteur \(\vec{OC}\) qui doit être élevé à la puissance n.

Donc OK pour ma compréhension du tracé des triangles.

Dernière modification par totomm (25-09-2011 21:28:55)

Golgup · 25-09-2011 11:05:56

jpp comment tu arrives à ça stp (c'est selon la méthode de fred mais je n'ais pas compris)

jpp · 25-09-2011 11:25:07

re.

@ Golgup. d'abord je me dis que [tex]1 = -e^{i.\pi} = -\cos\pi - i.\sin\pi[/tex] et je rassemble dans toute la parenthèse d'un coté les réels et de l'autre les imaginaires en appliquant les formules trigo pour convertir les sommes en produit.

[tex]\cos(a) + \cos(b) = 2 . \cos\frac{a+b}{2} . \cos\frac{a-b}{2}[/tex] par exemple.

Dernière modification par jpp (25-09-2011 11:26:47)

Golgup · 25-09-2011 11:27:45

Oulala jpp, la calculette me donne un module de 0.41726 pour a= 20 (et n=1) et c'est celui que j'ai avec mon développement alors qu'avec le tiens il donne -0.41726. De plus on a le même développement de l'exponentiel (à droite), OR c'est toi qui a la reponses juste!!?? comment c'est possible??

C'est très bizarre, c'est comme si il fallait que le résultat soit algébriquement faux pour être numériquement juste ?_?

Dernière modification par Golgup (25-09-2011 11:44:41)

Golgup · 25-09-2011 16:48:22

Alors, pourquoi est-ce ici acceptable d’écrire Z sous forme trigonométrique en ayant un module négatif??

@+

Golgup · 26-09-2011 19:10:29

Re,

Reprenons avec une autre méthode (celle des doubles angles): et posons [tex]z=1+i{e}^{ai}[/tex]

on a [tex]z=1-\sin \left(a\right)+i\cos \left(a\right)[/tex] d'ou [tex]\left|z\right|=\sqrt{2\left(1-\sin \left(a\right)\right)}[/tex]

Aussi, [tex]\cos \left(arq\left(z\right)\right)=\frac{1-\sin \left(a\right)}{\sqrt{2\left(1-\sin \left(a\right)\right)}}\,=\,\sqrt{\frac{1-\sin \left(a\right)}{2}}[/tex][tex]\,=\,\sqrt{\frac{1+\cos \left(a+\frac{\pi }{2}\right)}{2}}[/tex]

De plus (les doubles angles) , [tex]\cos \left(\partial \right)=\sqrt{\frac{1+\cos \left(2\partial \right)}{2}}[/tex]

donc [tex]\,=\,\sqrt{\frac{1+\cos \left(a+\frac{\pi }{2}\right)}{2}}[/tex] [tex]=\cos \left(\frac{a}{2}+\frac{\pi }{4}\right)[/tex]

Donc [tex]z=\sqrt{2\left(1-\sin \left(a\right)\right)}\left[\cos \left(\frac{a}{2}+\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(\frac{a}{2}+\frac{\pi }{4}\right)\right][/tex]

Et remarquons qu'ici le module est bien >0 mais que par exemple si je calcule avec a=20, le résultat est faux (par rapport a celui de ma calculette!) . Or si je calcul avec la formule de fred, le résultat est juste, mais lui a un module <0 !

merci de m'expliquer ce que je ne comprends pas: )

Golgup · 27-09-2011 20:57:54

re,

Non, vraiment, ne me dites pas que vous ne pouvez pas m'expliquer ça...

@+

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