Méthode d'euler

Roze · 18-09-2011 09:02:51

Bonjour,

Je bloque sur un exercice consistant à remplacer des nombres complexes en forme trigonométrique. Je ne vois pas comment utiliser la méthode d'euler car je ne l'ai jamais appliqué.

Pour (1+ie^(ia))^n j'ai remplacé par (1+e(i(a+pi/2)^n Après, je pense qu'il faut que j'utilise cette fameuse méthode d'Euler mais je ne sais pas comment m'y prendre.

méthode d'euler : cos x= ( (e^ia+e^-ia)/2).

Si quelqu'un pouvait m'aider..

Merci!

yoshi · 18-09-2011 11:01:14

Salut,

si tu pouvais utiliser LaTeX, ce serait bien. Merci pour nous...
A tout le moins, tu pourrais utiliser le bouton exposant de la barre d'outils mise à votre disposition, ce serait le minimum..

[tex]\left(1+ie^{ia}\right)^n= ?[/tex]

1. Je m'occuperais de l'exposant n en dernier.
2. Je remplacerais 1 par -i², puis je mettrais [tex]2i e^\frac{ia}{2}[/tex] en facteur :
[tex]1+ie^{ia}=2i e^\frac{ia}{2}\left(\frac{-ie^\frac{-ia}{2}+ie^\frac{ia}{2}}{2}\right)=2i e^\frac{ia}{2}\left(\frac{e^\frac{ia}{2}-ie^\frac{-ia}{2}}{2}\right)[/tex]
et je remultiplie et divise par i :
[tex]1+ie^{ia}=2i^2 e^\frac{ia}{2}\left(\frac{e^\frac{ia}{2}-ie^\frac{-ia}{2}}{2i}\right)[/tex]

Je te laisse poursuivre et améliorer...

@+

Roze · 18-09-2011 12:37:26

Je m'excuse pour la mise en forme de mon précédent message, je n'avais pas fait attention en détail à la barre d'outils.

Je te remercie pour ton aide qui m'a beaucoup aidé !

Golgup · 18-09-2011 14:09:45

salut

Désolé yoshi pour l'incruste mais j'ai du mal à voir comment tu obtient ensuite une forme trigonométrique

yoshi · 18-09-2011 16:28:19

Ave gamin,

Formules d'Euler qui dérivent toutes deux de [tex]e^{ix}=\cos x +i \sin x[/tex] et [tex]e^{-ix}=\cos x - i \sin x[/tex] laquelle dérive de la première en remplaçant x par -x :

[tex]\cos x =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}[/tex]

[tex]\sin x =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}[/tex]

Je ne te ferai pas l'injure de penser que tu ne verras pas la suite.
Donc, tu vois mieux ? ;-)

@+

Dernière modification par yoshi (19-09-2011 19:43:13)

Golgup · 19-09-2011 08:41:37

Re,

Oui, oui, tous ça d'accord mais J'obtiens [tex]{\left(1+i{e}^{ai}\right)}^{n}\,=\,{\left(\left(1-\sin \,a\right)+i\cos \,a\right)}^{n}[/tex]

et alors? ce n'est pas une forme trigo ?_?

[edit] J'ai ce résultat en utilisant les formules d’Euler mais enfet je viens de voir qu'en développant ie^(ai) c'est immédiat...

Dernière modification par Golgup (19-09-2011 08:54:06)

freddy · 19-09-2011 09:46:37

Golgup a écrit :

salut
Désolé yoshi pour l'incruste mais j'ai du mal à voir comment tu obtient ensuite une forme trigonométrique

Salut,

je repasse une petite couche : comme [tex]C[/tex] est un corps algébriquement clos, le terme entre parenthèses est nécessairement un nombre complexe qu'on peut ensuite écrire sous forme trigonométrique via Euler ...

Il reste à trouver comment, I try comme dirait notre équipe en Nouvelle Zélande !

Fred · 19-09-2011 09:51:47

Hello,

Pourquoi on ne partirait pas tout simplement comme cela :

[tex]1+ie^{ia}=e^{i0}+e^{i(a+\pi/2)}[/tex]
puis on applique la méthode d'Euler?

Fred.

yoshi · 19-09-2011 11:52:08

Re,

Je suis ouvert à toute proposition...
Mais, mille excuses :
1. Je suis incapable de voir mieux,
2. J'ai plus le temps pour l'instant
3. @Fred : why not ? Mais je ne vois pas où tu veux en venir...
4. @Golgup : Moi, j'ai des a/2 : que sont-ils devenus dans ta formule ? T'aurais pu montrer tes transformations...

Oui, oui, tous ça d'accord ...

Alors pourquoi jouer à cache à cache, pourquoi ne pas l'avoir dit tout de suite et argumenté tout de suite en conséquence ?
A moins que tu aimes distiller les infos et la contradiction au compte gouttes ?

et alors? ce n'est pas une forme trigo ?_?

Bin, oui, mais ça m'est immédiatement apparu et je l'ai rejeté comme trop simpliste pour de l'enseignement supérieur...
Mais d'autre part, j'avais hélas perdu de vue mon e^(ia/2) en facteur, ce qui me laisse maintenant insatisfait
5. @freddy : on va t'appeler Ripolin ^_^... Bon, j'attends ton coup de pinceau avec impatience.

@+

Fred · 19-09-2011 12:19:24

Re,

Bien, après je factorise en

[tex]e^{i\left(\frac a2+\frac\pi 4\right)}2\cos\left(\frac a2+\frac\pi4\right)[/tex]
et je mets le tout à la puissance n...

Fred.

yoshi · 19-09-2011 12:30:21

Salut,

Ok ! Mais c'est la même idée que moi en moins M. Bricolage...
Et d'autre part, comme moi j'arrivais à :

[tex]-2e^{\frac{ia}{2}}.\sin\left(\frac a 2\right)[/tex]

tu arrives aussi à un produit avec une exponentielle à l'exposant complexe... ce qu'ont l'air de déplorer freddy et Golgup !
Y a pas moyen de trouver une formule soit sans le sin ou le cos, soit sans l'exponentielle...
Dès que j'ai le temps, je reprends une vieille piste en mettant [tex]\frac{\sqrt 2}{2}[/tex] en facteur...
Mais je vais tomber comme toi sur des [tex]\frac \pi 4[/tex]...

@+

golguup · 19-09-2011 13:07:00

hi

Alors pourquoi jouer à cache à cache, pourquoi ne pas l'avoir dit tout de suite et argumenté tout de suite en conséquence ?
A moins que tu aimes distiller les infos et la contradiction au compte gouttes ?

non, c'est à cause de ça

yoshi a écrit :

Je te laisse poursuivre et améliorer...

je ne voyais pas comment en déduire une forme trigo c'est tout..

Golgup · 19-09-2011 13:37:26

re,

dsolé,

yoshi a écrit :

@Golgup : Moi, j'ai des a/2 : que sont-ils devenus dans ta formule ? T'aurais pu montrer tes transformations...

ils partent avec les formules cos²(a/2)=1+cos(a) /2 pareil pour sinus quant à cos (a/2) sin (a/2) = sin(a)/2

totomm · 19-09-2011 18:12:45

Bonsoir,

j'essayais de m'y retrouver dans les différents développements. Sauf erreurs il me semble que :

Fred post #10 est toujours en accord avec Golgup post #6

Mais pour yoshi : Post #5 il manque 2 fois i dans les e^x pour cos x et sin x.
et le sin(a/2) du post #11 ne peut venir de la dernière expression du post #2

Espérant ne pas mériter de foudres, Cordialement.

yoshi · 19-09-2011 20:33:38

Re,

Oui, j'ai raté des i... C'est corrigé, merci !

Espérant ne pas mériter de foudres,..

Bin si, pour une fois...
Non pas parce que vous signalez, cher ami, une boulette de ma part - ce n'est pas la première et j'espère (pour ma famille et moi-même) pas la dernière - mais à cause de l'usage de la litote que vous semblez affectionner tout particulièrement.

yoshi a écrit :

Et d'autre part, comme moi j'arrivais à :
[tex]-2e^{\frac{ia}{2}}.\sin\left(\frac a 2\right)[/tex]

Il fallait dire : dans la formule du post #2, il y a un i qui rend impossible le sin (a/2)
Appelons un chat, un chat.
Oui c'est faux !
Mais l'ouvrier de la 11e heure aurait dû se douter en comparant #2 et #11 que #2 est au mieux un atroce chemin de traverse et au pire (et c'est le cas), une impasse...
J'ai en effet aussi occulté le i devant la 2e exponentielle et j'ai bricolé en pensant à sin(a/2) ce que cela n'était pas.
je n'avais donc pas pensé à "éliminer" le i "en bas" par [tex]e^{i\frac \pi 2}[/tex] d'où l'impasse (justement signalée par Golgup, mais comme il s'est montré d'un questionnement plus que laconique donc sujet à une erreur de'interprétation, ça n'avait pas fait tilt. Essaie d'être plus clair et plus précis, la prochaine fois) quand j'ai rédigé la réponse.
Dont acte.

Je viens d'ailleurs de reprendre "en virant" le i du bas, continuer les calculs et je me retrouve avec le même résultat que Fred.
Il n'y a donc pas moyen de trouver une formule sans avoir le produit d'une exponentielle par un cos ou un sinus ?
Bizarre ! Si non, alors autant en rester au développement tout simple proposé par Golgup : pourquoi faire compliqué si on peut faire simple? Ah... mais il reste la puissance n que dans le cas de la formule de Golgup on ne peut pas "intégrer", sauf à rajouter une autre paire de parenthèses et la puissance en question.
En attendant que "l'ami Ripolin" nous sorte une solution de derrière les fagots, j'en reste à la formule Fredienne...

j'essayais de m'y retrouver dans les différents développements.

Alors, c'est bien...
Mais j'attends maintenant une participation active : quid de votre propre solution, Maître ?

@+

Dernière modification par yoshi (19-09-2011 20:36:43)

totomm · 19-09-2011 21:54:51

bonsoir,

Signaler une erreur est toujours délicat : en l'occurrence j'ai recherché les formules un moment pour être certain de bien voir....et j'ai aussi buté sur les i en haut ou en bas....
Que doit-on faire dans cet exercice ?
Je préfère la formule Golgup qui est celle sur laquelle je m'étais arrêté.

comme on est dans les nombres complexes et qu'on élève à la puissance n, je propose de faire tourner le vecteur d'abcisse (1-sin(a)) et d'ordonnée cos(a) d'un angle \(n\theta\) avec \(\theta\) = Arctan[Cos(a)/(1-sin(a))].

Le résultat est donc le vecteur complexe d'angle \(n\theta\) et de module \(\sqrt{2(1-sin(a))}\) élevé à la puissance n.

Mais est-ce le but de l'exercice ?
Cordialement

Dernière modification par totomm (19-09-2011 21:58:33)

freddy · 19-09-2011 22:51:43

Salut,

le but de l'exo est de donner une réponse à la question : écrire sous format trigonométrique ...

Donc, à la discussion près sur le [tex]1 - \sin a \ne 0[/tex], la réponse est donnée :

[tex]\left(1+ie^{ia}\right)^n=\left(2(1-\sin a)\right)^{\frac{n}{2}}\times \left(\cos n\theta+i \sin n\theta \right)[/tex]

Tu fais tourner les tables aussi ? ... :-)))

freddy · 19-09-2011 22:58:42

Re,

dans le cas ci dessus, c'est OK si [tex]a \ne \frac{\pi}{2}[/tex]

Sinon, alors on a le point d'affixe nulle.

totomm · 20-09-2011 09:49:26

Bonjour,

@ freddy : Non, je ne fais pas tourner les tables, j'étais trop scientifique "de l'industrie" pour cela. Mais j'ai eu plaisir à replonger dans ces formules et à trouver en post #17 une formulation agréable du vecteur complexe dont j'avais vu comment l'obtenir rapidement. :-)))

Il faudrait peut-être au post #17 expliciter l'angle \(\theta\) ???
Y a-t-il une autre méthode que celle utilisée au post #16 ?

Si je m'étais posé une question, c'était bien "pour quelle utilisation ? " on voulait "écrire sous forme...."
J'avais simplement oublié qu'il s'agissait d'un exercice donné à des étudiants. :-)

Cordialement

freddy · 20-09-2011 10:34:57

Re,

si ce ne sont pas les tables, ce sont alors les serviettes que tu fais tourner :-))) Sébastien, sors de ce corps !

Pour l'angle [tex]\theta[/tex], il est comme tu as dit, donc rien de nouveau sous le soleil.

POur une méthode alternative, je ne vois pas. Je proposais d'écrire le point d'affixe [tex]1+ie^{ia} =\rho \times e^{i\theta}[/tex] et je trouve le même résultat que toi avec tes notations.

En passant par la formule d'Euler, on déduit [tex]\left(1+ie^{ia}\right)^n =\rho^n \times e^{in\theta}[/tex]

Q. E. D

Dernière modification par freddy (20-09-2011 10:35:28)

Golgup · 24-09-2011 10:19:48

salut,

On arrive aussi au résultat en utilisant les propriétés des angles obtus et aigus dans le triangle et sans utiliser Euler.

@+

totomm · 24-09-2011 10:34:56

Bonjour,

@ Golgup : l'exposé de la méthode par les angles dans le triangle m'intéresse. Merci d'avance

raouassi · 24-09-2011 12:02:58

j'arrive pas a démontrer cette égalité:pr tt n dans N,il existe K dans N, il existe q dans N tq :n=2 a la puissance K (2q+1)

Golgup · 24-09-2011 20:43:15

Salut,

Enfet on utilise le théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre en additionnant les vecteurs 1 et e**i(a+pi/2) et on distingue 2 cas:

[tex]{\left(1+i{e}^{ai}\right)}^{n}\,=\,{\sqrt{2\left(1+\cos \left(1+\frac{\pi }{2}\right)\right)}}^{n}.\left[\cos \left(n\left(\frac{a}{2}+\frac{\pi }{4}\right)\right)+i\sin \left(n\left(\frac{a}{2}+\frac{\pi }{4}\right)\right)\right]\,[/tex]

lorsque [tex]0\leq a-2\pi \left[\frac{a}{2\pi }\right]\leq \frac{\pi }{2}[/tex]

et [tex]{\left(1+i{e}^{ai}\right)}^{n}\,=\,{\sqrt{2\left(1+\cos \left(a+\frac{\pi }{2}\right)\right)}}^{n}.\left[\cos \left(n\left(\frac{a}{2}-\frac{3\pi }{4}\right)\right)+i\sin \left(n\left(\frac{a}{2}-\frac{3\pi }{4}\right)\right)\right][/tex]

sinon

@+

totomm · 25-09-2011 00:00:10

Bonsoir,

@ Golgup : Merci pour cette réponse. OK pour le module, mais je suis dans le brouillard pour l'angle \(n\theta\).

Comment placez-vous les sommets du triangle et où placez-vous l'angle a et l'angle \(\theta\) ?

Cordialement

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 18-09-2011 09:02:51

Méthode d'euler

#2 18-09-2011 11:01:14

Re : Méthode d'euler

#3 18-09-2011 12:37:26

Re : Méthode d'euler

#4 18-09-2011 14:09:45

Re : Méthode d'euler

#5 18-09-2011 16:28:19

Re : Méthode d'euler

#6 19-09-2011 08:41:37

Re : Méthode d'euler

#7 19-09-2011 09:46:37

Re : Méthode d'euler

#8 19-09-2011 09:51:47

Re : Méthode d'euler

#9 19-09-2011 11:52:08

Re : Méthode d'euler

#10 19-09-2011 12:19:24

Re : Méthode d'euler

#11 19-09-2011 12:30:21

Re : Méthode d'euler

#12 19-09-2011 13:07:00

Re : Méthode d'euler

#13 19-09-2011 13:37:26

Re : Méthode d'euler

#14 19-09-2011 18:12:45

Re : Méthode d'euler

#15 19-09-2011 20:33:38

Re : Méthode d'euler

#16 19-09-2011 21:54:51

Re : Méthode d'euler

#17 19-09-2011 22:51:43

Re : Méthode d'euler

#18 19-09-2011 22:58:42

Re : Méthode d'euler

#19 20-09-2011 09:49:26

Re : Méthode d'euler

#20 20-09-2011 10:34:57

Re : Méthode d'euler

#21 24-09-2011 10:19:48

Re : Méthode d'euler

#22 24-09-2011 10:34:56

Re : Méthode d'euler

#23 24-09-2011 12:02:58

Re : Méthode d'euler

#24 24-09-2011 20:43:15

Re : Méthode d'euler

#25 25-09-2011 00:00:10

Re : Méthode d'euler

Pied de page des forums