Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Xviz

Membre

Lieu : Viroflay (78)

Inscription : 12-06-2011

Messages : 5

Probabilités, Alligators

Bonjour !

J'ai un exercice dont j'ai résolu la moitié facilement mais la seconde partie me pose problème, si quelqu'un pouvait m'aider s'il vous plait ce serait sympa ! :-)

Voici l'exercice :

Chez l'alligator d'Amérique, la proportion de mâles et de femelles varie en fonction de la température durant une période d'incubation (entre le [tex]7^{ème}[/tex] et le [tex]21^{ème}[/tex]  jour). La température moyenne relevée dans un marécage durant cette période étant de [tex]33\,^{\circ}\mathrm{C}[/tex], la proportion théorique de femelles est de [tex]25\%[/tex].

1. On observe les animaux issus de [tex]30[/tex] œufs. On note [tex]X[/tex] le nombre de femelles et [tex]Y[/tex] le nombre de mâles issus de ces [tex]30[/tex] œufs.
Quelle est la loi de [tex]X[/tex] ? De [tex]Y[/tex] ?
Que vaut [tex]X+Y[/tex] ?
Quelle est la probabilité d’obtenir au plus [tex]7[/tex] femelles ?
Quelle est la probabilité d’obtenir au moins [tex]13[/tex] mâles ?
Quelle est la probabilité d’obtenir au moins [tex]13[/tex] femelles ?
Quelle est la probabilité d’obtenir exactement [tex]8[/tex] femelles ?

2. On observe maintenant, toujours dans le même marécage, les animaux issus de [tex]100[/tex] œufs. On note [tex]S[/tex] le nombre de mâles issus de ces [tex]100[/tex] œufs.
Quelle est la loi de [tex]S[/tex] ? Son espérance ? Sa variance ? Peut-on approximer la loi de [tex]S[/tex] ?
Trouver un réel [tex]\delta[/tex] tel que [tex] \mathbb{P}(75-\delta \leqslant S \leqslant 75+\delta)  \approx 92\%[/tex].
Quel est l’entier naturel [tex]a[/tex] tel que [tex] \mathbb{P}(75-a \leqslant S \leqslant 75+a)  \approx 92\%[/tex].
Trouver le nombre de mâles [tex]K[/tex] tel que la probabilité d’observer au moins [tex]K[/tex] mâles soit inférieure à [tex]5\%[/tex].

La partie "1." ne m'a fait me poser qu'une seule question : la probabilité d'obtenir au moins [tex]13[/tex] mâles ([tex] \mathbb{P}(Y\geqslant 13)[/tex]) est-elle bien égale à la probabilité d'obtenir au plus [tex]17[/tex] femelles ([tex] \mathbb{P}(X\leqslant 17)[/tex]) ? Ça me parait évident donc je m'en suis servi mais je ne vois pas comment le montrer. Sinon c'était très facile.

Pour la deuxième partie, on a toujours, pour chaque œuf, deux issues possibles, [tex]\{mâle, femelle\}[/tex], tous les œufs réalisant leur éclosion de façon identique et toutes les éclosions étant indépendantes, on est bien dans le cas où [tex]S[/tex] suit la loi binomiale de paramètres [tex](100; 0,75)[/tex] (si je ne m'abuse).
Par conséquent, si je ne me suis pas trompé, l'espérance de [tex]S[/tex] est égale à [tex]75[/tex] (soit [tex]100\times0,75[/tex]) et la variance de [tex]S[/tex] égale à [tex]18,75[/tex] (soit [tex]100\times0,75\times0,25[/tex]). Dans ce cas, on ne peut pas approximer la loi binomiale par une loi de poisson de paramètre [tex]75[/tex] !... Puisque la probabilité pour chaque éclosion n'est pas faible du tout et qu'il y a une différence non négligeable entre l'espérance de [tex]S[/tex] et la variance de [tex]S[/tex]... C'est là que commence mon problème (les tables de la fonction de répartition de la loi binomiale dont je suis censé me servir n'étant pas du tout suffisamment étendues !), je pense que j'ai fait une erreur dans mon raisonnement précédent, du coup pour calculer la probabilité d'observer au moins [tex]80[/tex] mâles, je ne vois pas comment faire. Pour la suite avec les inégalités non plus... Enfin, j'ai quand même tenté un raisonnement pour la suite mais je suis à peu près sûr qu'il est faux. Le voici tout de même même :
[tex] 75-\delta \leqslant S \leqslant 75+\delta \Rightarrow \delta^2 \leqslant (S-75)^2 \leqslant \delta^2 \Rightarrow (S-75)^2 = \delta^2 \Rightarrow E((S-75)^2)=\delta^2[/tex] (puisque [tex]\delta^2[/tex] est un réel fixé) soit [tex]\delta=\sqrt{18,75}[/tex]. Pour [tex]a[/tex] j'ai pris la partie entière de [tex]\sqrt{18,75}[/tex] soit [tex]4[/tex] mais j'avoue que c'est purement irréfléchi, je ne vois pas comment y accéder non plus. Quant-à [tex]K[/tex], je pense qu'il est évident que je n'ai pas trouvé ce nombre...

En vous remerciant à l'avance de l'aide probable (tant qu'on y est...) que vous pourriez m'apporter !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Probabilités, Alligators

Bonjour!!!

  Je vais essayer de t'aider, mais cela dépend un peu de l'avancement de ton cours (et de tes connaissances).
Pour la question 1, la seule chose que tu dois dire est que [tex]X+Y=30[/tex], et donc [tex]Y\geq 13\iff X\leq 17[/tex].

Pour la deuxième question, tu as parfaitement raison, on ne peut pas approcher la loi binomiale par une loi de Poisson dans ce cadre.
Il existe d'autres approximations de la loi binomiale, qui fonctionnent. Ici, tu peux approcher la loi binomiale par une loi normale.
Connais-tu la loi normale et l'approximation de la loi binomiale par la loi normale, comme elle est expliquée
sur cette page?

Fred.

Xviz

Membre

Lieu : Viroflay (78)

Inscription : 12-06-2011

Messages : 5

Re : Probabilités, Alligators

Merci de ta réponse !

Je connais la loi normale, en fait on a fini le cours de probabilités, niveau L2, au sens strict (nous sommes passés aux tests statistiques et compagnie), mais à vrai dire, on ne m'a jamais parlé d'approximation d'une loi Binomiale par une loi Normale... mais seulement par une loi de Poisson. Alors peut-être était-ce volontaire afin de nous faire réfléchir à une autre approximation possible, je ne sais pas ! Toujours est-il que je suis censé pouvoir faire cet exercice à l'heure actuel, et que cette approximation m'a l'air vraiment pratique ! Donc si je comprends bien, quand on dit "[tex]p[/tex] ne [doit] pas être trop proche de 0 ou 1", cela signifie qu'il doit vérifier [tex]\frac{5}{n} \leqslant p \leqslant \frac{n-5}{n}[/tex], soit, en prenant le minimum pour la condition posée sur [tex]n[/tex], [tex]\frac{1}{6} \leqslant p \leqslant \frac{5}{6}[/tex].

Donc concrètement ici, le nombre total des expériences aléatoires étant de [tex]100[/tex], soit, est très supérieur à [tex]30[/tex], de plus, l'espérance de [tex]S[/tex] suivant la loi binomiale est égale à [tex]75[/tex], elle est très supérieure à [tex]5[/tex], également, la probabilité d'obtenir un mâle à chaque éclosion, soit [tex]0,75[/tex] est comprise entre [tex]\frac{1}{6}\approx0,6667[/tex] (à [tex]10^4[/tex] près par excès) et [tex]\frac{5}{6}\approx0,8333[/tex] (à [tex]10^4[/tex] près), on peut donc approximer la loi binomiale que suit [tex]S[/tex] par une loi Normale telle que [tex]S\hookrightarrow\mathcal{N}(75, \sqrt{18,75})[/tex]. Alors, si on définit [tex]f[/tex] la densité de [tex]S[/tex], définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex], on peut écrire, pour tout [tex]x[/tex] réel, [tex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sqrt{18,75}}}\exp{\frac{{(x-100)}^2}{2\sqrt{18,75}}}[/tex].
Mais comment peut-on approximer une loi discrète par une loi continue ? Ça je n'arrive pas bien à saisir !

Donc en fait, [tex]\mathbb{P}(S\geqslant80)=1-\mathbb{P}(S\leqslant80)[/tex] (je crois que ceci est vrai pour les variables aléatoires à densité et pas pour les variables aléatoires discrètes pour lesquelles les inégalités strictes/larges sont bien distinctes ? Mais j'ai un léger doute...). Ensuite on centre et on réduit et on tombe sur [tex]\mathbb{P}(S\geqslant80)=1-\mathbb{P}(\frac{S-75}{\sqrt[4]{18,75}}\leqslant\frac{5}{\sqrt[4]{18,75}})=0,0082[/tex] ? Ça me semble vraiment peu !...
Et je dois avouer qu'après je cale... J'ai essayé de réduire/centrer également mais sans que je retombe sur quelque chose que je connais ou dont je sais quoi faire... Je pensais que la probabilité calculée d'observer au moins quatre-vingts mâles me donnerait une piste pour la suite mais là je ne vois vraiment pas... !
Je crois que je suis un peu perdu !

Enfin, merci déjà pour cette piste !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Probabilités, Alligators

Re-

  Tu y es presque....
Tu cherches ensuite un entier [tex]K[/tex] tel que
[tex]P(S\geq K)\leq 0,05[/tex]
Tu centres, et tu réduis....
Tu arrives à
[tex]P(X\geq f(K))\leq 0,05[/tex]
où [tex]f(K)[/tex] dépend du centrage et de la réduction (je n'ai pas envie de me fouler à faire les calculs!), et [tex]X[/tex] suit une loi normale centrée réduite.

Ensuite, tu lis à l'aide de la table de la loi normale [tex]a[/tex] tel que [tex]P(X\geq a)\leq 0,05[/tex]

Tout [tex]K[/tex] tel que [tex]f(K)\geq a[/tex] convient, et ce qui t'intéresse ici est le plus petit possible.

Fred.

Xviz

Membre

Lieu : Viroflay (78)

Inscription : 12-06-2011

Messages : 5

Re : Probabilités, Alligators

D'accord, merci beaucoup j'ai tout compris et appris pas mal de trucs importants !!