Racine cubique.

alain01 · 05-09-2011 03:12:01

Bonjour à tous.
C'est un vrai-faux.Parmi les réponses données il peut y en avoir plusieurs justes car j'ai fait d'autres exercices dans la meme page.
[tex]f(x)=\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^{2}-4}[/tex].
1ere réponse.
Df=[tex]]-\infty;-2]U]2;+\infty[[/tex].
2eme réposnse.
f est dérivable sur [tex]]-\infty;-2]U]2;+\infty[[/tex].
3eme réponse.
[tex]\lim_{x \to 2+}f(x)=+\infty[/tex].(c'est quand x--->2+.Ayant une vue très basse,je ne vois en prévisualisant.
4eme réponse.
[tex]\lim_{x\to+\infty}f(x)=0[/tex].(quand x--->+oo).

1)Je pense que c'est faux car la fonction [tex]\sqrt[3]{x}[/tex]est définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
2)J'ai calculé (sauf erreur de ma part)
[tex]f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2-4)^2}}[/tex] qui donne à fortiori f dérivable
sur [tex]\mathbb{R}[/tex]-{-2;0;2}.
3)f est définie en 2 et f(2)=[tex]\sqrt[3]{4}[/tex].C'est donc faux.
4)Je ne connais pas la quantité conjuguée dans le cas de la racine cubique pour lever l'indétermination +oo-oo et peut-etre y'a-t-il une autre méthode bien sur autre que celles du supérieur(je prépare seulement mon bac).
Merci de m'aider.

alain01 · 05-09-2011 03:14:48

Je corrige:je ne vois pas le +....
Pardon.

freddy · 05-09-2011 10:06:35

PROPOSITIONS

[tex]f(x)=\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^{2}-4}[/tex].

1ere réponse.
Df=[tex]]-\infty;-2]\, \cup\, ]2;+\infty[[/tex].

2eme réponse.
f est dérivable sur [tex]]-\infty;-2]\, \cup\, ]2;+\infty[[/tex].

3eme réponse.
[tex]\lim_{x \to 2+}f(x)=+\infty[/tex].(c'est quand x--->2+.Ayant une vue très basse,je ne vois en prévisualisant.

4eme réponse.
[tex]\lim_{x\to+\infty}f(x)=0[/tex].(quand x--->+oo).

REPONSE

1)Je pense que c'est faux car la fonction [tex]\sqrt[3]{x}[/tex]est définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex]. OUI

2)J'ai calculé (sauf erreur de ma part)
[tex]f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2-4)^2}}[/tex] qui donne à fortiori f dérivable
sur [tex]\mathbb{R}[/tex]-{-2;0;2}. donc dérivable sur le domaine indiqué ?

3)f est définie en 2 et f(2)=[tex]\sqrt[3]{4}[/tex].C'est donc faux. OUI

4) Pas besoin de conjuguer, il suffit de remarquer que [tex]\sqrt[3]{x^2}[/tex] est du même ordre de grandeur (équivalent à) que [tex]\sqrt[3]{x^2-4}[/tex] donc ...

Dernière modification par freddy (05-09-2011 10:07:27)

Fred · 05-09-2011 13:15:43

Bonjour,

Je complète un peu les réponse de Freddy pour les adapter au contexte...

2) Tu prends un peu le problème à l'envers. Tu calcules la dérivée, et après tu dis : c'est dérivable.
Là, on te demande de déterminer où c'est dérivable. Je te conseille de faire la chose suivante :
La fonction [tex]x\mapsto \sqrt[3]{x^2}[/tex] est dérivable sur [tex]\mathbb R^*[/tex].
La fonction [tex]x\mapsto x^2[/tex] est dérivable sur [tex]\mathbb R[/tex], et
elle ne s'annule qu'en 0. Par composition la fonction [tex]x\mapsto \sqrt[3]{x^2}[/tex] est dérivable sur [tex]\mathbb R^*[/tex]

Réitère le raisonnement pour déterminer où la fonction [tex]x\mapsto \sqrt[3]{x^2-4}[/tex] est dérivable (partout sauf en 2 et -2).

4) Ici c'est difficile (à ce propos, Freddy, on n'ajoute jamais les équivalents). Je vois deux méthodes possibles en lycée,
qui m'ont l'air plutôt difficiles toutes les deux.

Méthode 1 : on factorise par x² dans chaque expression, et on se ramène à une limite connue.

[tex]\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^2-4}=\sqrt[3]{x^2}\left(\sqrt[3]1-\sqrt[3]{1-4/x^2}\right)=\frac{4 \sqrt[3]{x^2}}{x^2}\times\frac{\sqrt[3]1-\sqrt[3]{1-4/x^2}}{4/x^2}.[/tex]

Or, tu connais la limite en 0 de [tex]\frac{\sqrt[3]{1}-\sqrt[3]{1+u}}u[/tex] (pense au nombre dérivé). Donc tu connais la limite en +oo de
[tex]\frac{\sqrt[3]1-\sqrt[3]{1-4/x^2}}{4/x^2}[/tex] (par composition des limites) et tu conclus.

Méthode 2 : tu utilises l'équivalent de la quantité conjuguée, mais pour les racines cubiques.
La quantité conjuguée pour les racines carrées est basée sur [tex](a-b)(a+b)=a^2+b^2[/tex]
Pour les racines cubiques, on utilise [tex](a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3[/tex]

Applique cette égalité avec [tex]a=\sqrt[3]{x^2}[/tex] et [tex]b=\sqrt[3]{x^2-4}[/tex]

Je trouve cette question 4 bien compliquée par rapport aux autres.
J'espère que je ne suis pas passé à côté de quelque chose...

Fred.

freddy · 05-09-2011 13:38:29

Merci Fred de rattraper mes étourderies !

je ferai cent lignes "on n'ajoute jamais les équivalents, on n'ajoute jamais les équivalents", j'avais oublié.

et une paire de claque avant de m'endormir !

non, mais !
:-)

alain01 · 07-09-2011 23:53:52

Bonsoir.
Je vous prie d'excuser mon retard.Là ou je suis la connexion est plus qu'aléatoire mais c'est mieux que rien.
Voilà ce que j'ai fait:
[tex]\lim_{u\to0}\frac{-(\sqrt[3]{1-u}-f(0))}{u-0}=f'(0)[/tex] et [tex]f'(u)=\frac{-1}{3\sqrt[3]{(1-u)^2}}[/tex] donc
[tex]\lim_{u\to0}f(u)=\frac{-1}{3}[/tex] et enfin par composition avec [tex]v(x)=\frac{4}{x^2}[/tex] on trouve
[tex]lim_{x\to+\infty}f(x)=0[/tex].
J'ai recalculé avec l'expression conjuguée et j'ai obtenu le meme résultat sauf erreur de ma part.
Un très grand merci à vous deux.

alain01 · 07-09-2011 23:55:15

Pardon,c'est -f'(0).

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#1 05-09-2011 03:12:01

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