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#1 01-07-2011 13:54:06
- Cédric
- Invité
limite d'une intégrale
Bonjour,
A propos de la dernière question de l'exercice 3 DU SUJET DE TS DE CETTE ANNEE, la méthode suivante est-elle juste ?
La limite de fn où fn(x) = x^n exp(-x) vaut 0 si x est positif et strictement inférieur à 1 et l'intégrale sur [0,1[ ou sur [0,1] étant la même, la limite de l'intégrale de fn sur [0,1] est égale à l'intégrale sur [0,1] de la limite de fn, c'est-à-dire 0.
S'il existe un théorème (même universitaire) qui permette de dire (sous conditions) que la limite d'une intégrale est égale à l'intégrale de la limite, je vous serais très reconnaissant de me l'indiquer !
Merci beaucoup,
CEDRIC
#2 01-07-2011 15:06:34
Re : limite d'une intégrale
Il y a deux théorèmes pour cela : le théorème de convergence monotone et celui de convergence dominés.
Je vais te donner une version simplifiée pour l'intégration de Riemann (mais bien sûr correcte) des deux théorèmes :
Théorème de convergence monotone :
Soit (fn), n de N, une série de fonctions de I (intervalle) dans R.
Si :
* Pour tout n, fn est positive. (C'est LE point que tous les étudiants oublient. Pourtant, il est facile de trouver des contres-exemples sans ce point !)
* Pour tout n, fn est continue.
* Pour tout n, fn est intégrable sur I.
* (fn) est décroissante.
Alors :
* (fn) converge simplement vers une fonction f quand n tend vers l'infini. Ceci signifie qu'en tout point x de I, la limite de fn(x) quand n tend vers l'infini vaut f(x).
* f est intégrable sur I.
* La limite des intégrales est égale à l'intégrale de la limite.
Théorème de convergence dominée :
Soit (fn), n de N, une série de fonctions de I (intervalle) dans R.
Si :
* Pour tout n, fn est continue sur I.
* Pour tout n, fn est majorée par une fonction g intégrable sur I.
* (fn) converge simplement vers une fonction f quand n tend vers l'infini.
Alors :
* Pour tout n, fn est intégrable sur I.
* f est intégrable sur I.
* La limite de l'intégrale est égale à l'intégrale de la limite.
Voilà pour l'aspect mathématique.
Pour l'aspect notation, si tu as vérifié explicitement l'ensemble de ces points et cité le théorème que tu emploies, alors, bravo, car c'est du niveau universitaire. Hélas, je ne sais pas si un élève qui emploie un théorème hors programme au bac a quand même quelques points.
Je n'ai pas réussi à trouver les consignes de notation distribuées au professeurs pour l'épreuve. Quelqu'un en sait-il plus que moi à ce sujet ?
Maintenant, si tu t'es contenté d'intervertir limite et intégrale sans explications, tu auras 0 à la question.
[EDIT] : Je viens de corriger une erreur dans la formulation du théorème de convergence monotone : il n'est pas nécessaire de montrer la convergence simple avant d'appliquer le théorème car elle découle de l'hypothèse de décroissance.
Dernière modification par thadrien (03-07-2011 18:59:55)
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#3 02-07-2011 16:12:16
- Mstafa
- Membre
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- Messages : 68
Re : limite d'une intégrale
Bonjours
il y a aussi un théorème qui est du niveau 1ère année univ. qui consiste à montrer que la fonction [tex]{f}_{n}\left(x\right)[/tex] converge uniformément vert [tex]f[/tex] dans ce cas tu peut intervertir les symboles.
pour les autres théorèmes sont du niveau 3ème année univ.
bon courage.
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#4 02-07-2011 18:21:10
Re : limite d'une intégrale
il y a aussi un théorème qui est du niveau 1ère année univ. qui consiste à montrer que la fonction [tex]{f}_{n}\left(x\right)[/tex] converge uniformément vert [tex]f[/tex] dans ce cas tu peut intervertir les symboles.
Dans le cas présent, justement, la convergence n'est pas uniforme sur [0;1].
La preuve que la convergence n'est pas uniforme, c'est que la limite simple de la fonction vaut 0 sur [0;1[ et 1 en 1 : il y a une discontinuité en 1 incompatible avec une convergence uniforme.
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#5 03-07-2011 13:55:37
- Cédric0
- Invité
Re : limite d'une intégrale
Merci beaucoup,
J'ai parfaitement compris le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée.
Par contre, pourriez-vous me détailler le théorème de convergence UNIFORME ? et donner les implications qui résultent de toutes ces convergences (Convergence uniforme => Convergence simple (d'après le dernier message si j'ai bien compris), etc.)
Merci beaucoup,
Cédric
#6 03-07-2011 16:11:23
Re : limite d'une intégrale
Salut,
Cette notion est très bien expliquée ici : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … c/cvu.html
Mais le théorème de convergence dominée est clairement le plus utilisé pour plusieurs raisons (N.B : ça fait très longtemps que je n'ai plus fait ça en maths, freddy/yoshi ou autres, pouvez-vous confirmer ou au contraire dire si je dis des bêtises ?) :
1/ Le théorème de convergence uniforme ne fonctionne que sur un intervalle fermé borné. En particulier, il ne fonctionne pas sur R tout entier.
2/ Sur un intervalle fermé borné, la convergence uniforme implique la convergence dominée.
3/ Pour parler de convergence d'une suite d'intégrales, il faut d'abord montrer que chaque intégrale existe individuellement. Au lycée, lorsque le sujet demande de calculer la limite d'une suite d'intégrales, on ne demande pas aux élèves de démontrer que chaque intégrale existe. Mais dans le supérieur, c'est obligatoire, sauf si le sujet dit explicitement "on admettra que les intégrales ... existent pour tout n de N".
L'hypothèse de domination permet également de montrer ce point. Il ne faut donc pas faire de démonstration à part.
Dernière modification par thadrien (03-07-2011 19:00:40)
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#7 04-07-2011 09:29:31
- Cedric0
- Invité
Re : limite d'une intégrale
Bonjour,
en résumé, pour les théorèmes de la convergence monotone et dominée, I peut être n'importe quel intervalle de R donc aussi R mais pour le théorème de convergence uniforme, il faut que I soit unintervalle fermé borné de R.
¨Par ailleurs a-t-on bien les implications suivantes :
Convergence dominée => convergence uniforme => convergence simple.
Merci beaucoup,
Cédric
#8 04-07-2011 12:29:21
Re : limite d'une intégrale
Salut,
C'est pas encore ça, mais tu t'en approches.
Très exactement, on a :
* Convergence dominée => Convergence simple, car convergence dominée = convergence simple + domination.
* Sur un intervalle I fermé borné, convergence uniforme => convergence dominée. Par contre, l'inverse est faux.
* Sur tout autre type d'intervalles, convergence uniforme n'implique rien du tout. Pas même de convergence dominée !
A noter que l'on peut aussi généraliser à des réunions FINIES d'intervalles fermés et bornés. ex : [1;2] union [3;4].
La démonstration du théorème de convergence dominée est épouvantable : elle nécessite un semestre entier de cours de mathématiques. Mais cela ne doit pas t'inciter à ne pas utiliser ce théorème, après tout, tu utilises tous les jours des nombres réels sans avoir vu leur construction, de même que les nombres complexes, et tu utilises les intégrales sans même avoir vu leur définition précise et rigoureuse. Le terme "aire sous la courbe", si il suffit amplement à ton niveau, est loin d'être suffisant mathématiquement.
Par contre, la démonstration du théorème de convergence uniforme est très simple, et je t'invite à la regarder de plus près, en prévision de l'année prochaine.
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#9 05-07-2011 13:10:28
- Mstafa
- Membre
- Inscription : 24-06-2011
- Messages : 68
Re : limite d'une intégrale
Salut:
Une petite remarque :
la limite simple de la fonction vaut 0 sur [0;1[ et 1 en 1 : il y a une discontinuité en 1 incompatible avec une convergence uniforme.
Je pense que la fonction vaut 0 sur [0;1[ et [tex]e^{-1} [/tex] en 1 !!
à part ça je suis tout à fait d’accord sur la non convergence uniforme sur [0,1]
@ +
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