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Bilbot

Invité

petite question sur la Méthode de Newton

Bonjour à tous,

Voilà, je me pose une question, peut être est-elle absurde ou il me manque des connaissances essentielles, ...
Mais enfin, je me pose la question de la nature de f(x0)/f'(x0).

J'arrive à comprendre ce que représente f(x0), un point, une coordonnée. Ensuite concernant la dérivée, j'imagine bien la droite tangente en un point (ici x0). Mais c'est le rapport que je ne comprends pas :

1) Point / Point
ou
2) Point / (portion de droite) ? 

Là est mon double problème. D'une part, je ne sais pas si c'est 1) ou 2) qui est valide, et d'autre part que représente 1) ou 2) ? un autre point ? un élément sans dimension ? sans représentation ?

Que représente f/f' ? Quelle est sa dimension ? son unité ? est-ce semblable à . ?

Si l'un de vous pouvez m'apporter quelques lumières, bien sûr si cela est complètement absurde, n'hésitez pas, dites-le moi.

Merci par avance.

yoshi

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Re : petite question sur la Méthode de Newton

Bonjour,

Rapidement, parce que l'orage gronde et je vais tout débrancher...
1. f(x0) n'est pas un point, ce n'est que l'image de x0 par la fonction f. Ou si vous préférez c'est l'ordonnée du point d'abscisse x0 de la courbe représentative de la fonction f.
2. f'(x0) n'est ni un point ni une droite, même tangente. Ce n'est que le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse x0.
La tangente, elle, a pour équation [tex]y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)[/tex], en posant [tex]y_0=f(x0)[/tex]
Que représente f/f' ? A priori, je dirais, je ne sais pas je dois réfléchir.
S'il s'agit par contre de f'/f : [tex]\frac{f'}{f}=\left(\ln(f)\right)'[/tex].

D'autre n'auront pas d'orage au dessus de leur tête et complèteront ma réponse...

@+

totomm

Invité

Re : petite question sur la Méthode de Newton

bonjour,

La dérivée en un point (x0;y0) est : la pente de la tangente en ce point c'est à dire y0/x1 si y0 représente l'ordonnée du point et x1 la "projection sur l'axe des abcisses de la portion de la tangente entre le point (x0;y0)et le point d'intersection de la tangente avec l'axe des abcisses"

dans la méthode de Newton on cherche x1 pour se rapprocher du point où la courbe y=f(x) coupe l'axe des abcisses : y0=f(x0) donc f(x0) / f'(x0) = y0/(y0/x1)=x1

cordialement

totomm

Invité

Re : petite question sur la Méthode de Newton

Bonjour,

@yoshi : mille excuses, je n'avais pas votre texte sur mon écran, aussi j'ai récité mon cours d'il y a ...bien des années.

cordialement

yoshi

Modo Ferox

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Re : petite question sur la Méthode de Newton

RE,

Petit additif à ce que j'ai écrit...
Soient 2 points A(x0 ; y0) et (x1 ; y1) de la courbe représentative de la fonction f.
On trace la droite (AB).
Puis on déplace, en restant sur la courbe, le point B vers le point A : la position limite de la droite (AB) est alors la tangente en A à la courbe : la valeur de x1 se rapproche de celle  de x0, on dit que l'on fait tendre x1 vers x0.
Et la dérivée en x0, c'est la limite (=la valeur vers laquelle on se rapproche de plus en plus. Désolé, je ne sais pas si tu comprends la notion de limite. Si tu sais, ne m'en veux pas) du quotient [tex]\frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1}[/tex] quand on fait tendre x1 vers x0.
Ça, c'est une définition simplifiée...
Le coefficient directeur de la droite (AB) de départ est justement [tex]\frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1}[/tex]..
Faire tendre x1 vers x0 c'est rapprocher B de A pour arriver au coefficient directeur de la tangente en A...

@+

totomm

Invité

Re : petite question sur la Méthode de Newton

Bonjour,

Que représente f/f' ? Quelle est sa dimension ? son unité ? est-ce semblable à . ?

Question à Bilbot : qu'est-ce qui vous induit à chercher une dimension à f/f', une habitude des équations aux dimensions en Physique ?

Cordialement.

Augustin

Membre

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Re : petite question sur la Méthode de Newton

Bonjour,

La tangente, elle, a pour équation [tex]y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)[/tex], en posant [tex]y_0=f(x0)[/tex]

la tangente coupe l'axe des x quand [tex]y=0,\ alors\ x=x_0 -\frac{ f(x_0) }{f'(x_0)}[/tex]

Dernière modification par Augustin (20-05-2011 21:25:50)

yoshi

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Re : petite question sur la Méthode de Newton

Bonsoir Augustin,

Pas de bienvenue pour vous (même si vous l'êtes de facto quand même) : ces vœux vous les avez déjà eus lorsque vous portiez un autre pseudo. D'ailleurs le précédent n'a été inaccessible que 15 j et se trouve depuis parfaitement opérationnel...
Si c'est un autre pseudo pour une nouvelle "vie" sur BibMath, alors c'est bien.
Toutes les interventions constructives sont appréciées.
D'ailleurs, cherchez bien, il y a quelques sujets encore pendants qui méritent bien que des esprits forts se penchent dessus en les considérant d'un oeil neuf.

Cela dit, j'attendais la première intervention avec curiosité.

la tangente coupe l'axe des x quand [tex]y=0,\ alors\ x=x_0 -\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}[/tex]

Oui et alors ?
C'est une contribution à ce que représente f(x0)/f'(x0) ?
Ok ! Alors pourquoi ne pas citer directement notre invité ou totomm ?
Pourquoi me citer moi ? Je n'ai rien pu dire le sujet.
C'est vraiment trop d'honneur...
Moi, je n'ai fait qu'apporter un additif à ma première intervention et entretemps totomm a donné un autre éclairage...
J'ai en effet dit ne pas savoir ce que représentait concrètement (certes le mot n'était pas là, mais c'était bien le fond de ma pensée) f'/f.

J'ai essayé, parce qu'il m'a semblé que c'était un souci de notre invité, de mettre un sens concret derrière les formules mathématiques, d'où mon intervention en 2 fois.
Toute contribution complémentaire est la bienvenue
Pour f/f', je sèche toujours, pour f'/f je ne suis pas très satisfait de ma réponse...

@+

[EDIT]
Je viens seulement (!) de découvrir le sujet donné à la discussion par Bilbot :
Petite question sur la Méthode de Newton
Ils ont des yeux pour voir et ne voient point : c'est mon cas.
Voilà qui éclaire la contribution d'Augustin : pourquoi ne pas l'avoir précisé ? Je suis presque hors-sujet !
[tex]x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0}[/tex]
Et par "extension" : [tex]x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}[/tex]
Mais ça ne répond toujours pas à ce que représente concrètement [tex]\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}[/tex]...

Je reverrai ce que j'ai écrit demain : pour ce soir, rideau !

Dernière modification par yoshi (20-05-2011 22:24:47)

yoshi

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Re : petite question sur la Méthode de Newton

Re,

Voilà, les idées claires je reprends...
Je n'avais lu l'objet de la discussion, Bilbot n'avait pas reparlé dans son post de "méthode de Newton", et comme je ne l'avais pas pressentie avec [tex]\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}[/tex], je suis passé à côté.
Et c'est quand même l'intervention minimale d4augustin qui m'a conduit à rechercher l'objet de la discussion.
Dont acte..

Je vais donc étendre la question de Bilbot : puisqu'il parle de méthode de Newton, il faut parler résolution d'équation.
Et dans ce cas on procède par itérations successives, pour s'approcher de plus en plus de la solution comprise entre deux bornes connues...
Pour utiliser un langage de programmation, je dirais aussi que parfois la "boucle" dans laquelle on procède aux itérations, risque d'être infinie et qu'on n'en sorte pas...
Supposons que tel ne soit pas le cas, alors je peux écrire :
[tex]x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\quad\Leftrightarrow\quad x_{k+1}-x_k=-\frac{f(x_k)0}{f'(x_k)} \quad\Rightarrow\quad |x_{k+1}-x_k|=\left|\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\right|[/tex]

Alors, la valeur absolue de [tex]\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}[/tex] est la distance qui sépare deux approximations successives de la solution de f(x)=0 recherchée via la méthode de Newton.

On doit pouvoir faire mieux...

@+

freddy

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Re : petite question sur la Méthode de Newton

Salut,

tout, tout, tout, vous saurez tout sur

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Newton

Sympa, non ?

PIERRE FERMAT

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Re : petite question sur la Méthode de Newton

je n' est pas meme comprendre la question ??

yoshi

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Re : petite question sur la Méthode de Newton

Salut Pierre Fermat,

Bienvenue à bord...
Un petit point qui a son importance :
Pierre Fermat, est déjà suffisamment ostentatoire comme ça, sans que tu aies besoin de l'écrire en majuscules...
En effet, sur un forum, écrire en majuscules signifie hurler...
Donc pas besoin de hurler ton pseudo, on n'est pas sourd et on t'a reconnu Pierre Fermat revenu d'entre les morts...
Pour le sens de la question, Pierre Fermat (la résurrection a laissé des séquelles ? ;-) ),:

je me pose la question de la nature de f(x0)/f'(x0)

à moi il me semble que Bilbot voudrait savoir ce que représente (à quoi correspond concrètement) le quotient [tex]\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}[/tex] dans la méthode de calcul de la racine d'une équation, appelée "Méthode de Newton".
Il est vrai que vous l'avez précédé de près d'un demi-siècle ce  M. Newton (1605 contre 1642), vous n'avez donc probablement pas eu connaissance de ses travaux.
Ceci expliquerait-t-il cela ? ;-)

@+

bilbot

Invité

Re : petite question sur la Méthode de Newton

Merci à tous.

Je remercie tous ceux qui m'ont redonné un cours sur les tangentes ou les dérivées  :-)

Oui totomm, c'est bien le fond de ma question : Que représente f/f'. J'avais pris l'exemple de la méthode de newton pour donner un contexte, mais je crois que je n'aurai pas du, cela a induit en erreur.

J'essaie de comprendre quelle est la nature de l'objet f/f' : est-ce un point ? Est-ce un espace vectoriel, est-ce un anneau (oui c'est le délire:-) ? Est-ce un nombre ? Est-ce ... ?
Et suivant la réponse, que représente-t-il par rapport à la fonction f.

Voilà, j'imaginai que cette question avait une réponse évidente que je ne connaissais pas.

bilbot

IMED

Invité

Re : petite question sur la Méthode de Newton

Bjr,

f/f' 

sa dimension : le Temps (seconde)

(Vitesse/Accéleration)

totomm

Invité

Re : petite question sur la Méthode de Newton

Bonjour,

quelle est la nature de l'objet f/f' :....Voilà, j'imaginai que cette question avait une réponse évidente que je ne connaissais pas.

La réponse n'est-elle pas donnée dans les post #3, #7, #9 ?
Que représente mc² ? c'est une énergie si m est une masse et c la vitesse de la lumière.
Que représente f(x) / f'(x) ? C'est le rapport entre une fonction et sa dérivée :
Si f(x) représente une grandeur dont la valeur dépend de la grandeur x, et si vous reportez sur un graphique, f(x) / f'(x) vous est clairement présenté comme une portion de l'axe des abcisses.
Maintenant, à vous de savoir ce qui est représenté sur l'axe des abcisses. Ce peut être l'age de vos enfants ou le temps ou des kilomètres ou....

Cordialement

yoshi

Modo Ferox

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Re : petite question sur la Méthode de Newton

Re,

J'essaie de comprendre quelle est la nature de l'objet f/f' : est-ce un point ? Est-ce un espace vectoriel, est-ce un anneau (oui c'est le délire:-) ? Est-ce un nombre ? Est-ce ... ?

Un point, non...
Un espace vectoriel, non...
Ni, un groupe, ni un anneau, ni un corps...
Un nombre, non plus, pourquoi ?....
Une fonction est une relation qui permet d'associer à un nombre, un point Géométrique, un vecteur...etc une image qui peut donc être un nombre, un point, un vecteur...etc... C'est quelque chose "d'immatériel".
Par exemple :
[tex]\begin{cases}f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\\ x\mapsto 2x-3\end{cases}[/tex]
Voilà la définition d'une fonction affine f...
La fonction, c'est f et non f(x) qui est l'image de x par la fonction f.

Alors ce que représente f/f' je n'en sais fichtrement rien : je ne me suis jamais posé la question...
Voyons... f'/f c'est la notation d'une fonction g telle que g(x)=f(x)/f'(x) ?...
f(x)/f'(x) c'est alors ici le quotient de 2 expressions algébriques...

Pourquoi fais-tu une fixation sur f/f' et non pas sur f'/f ?
Peut-être que cela a un sens en économie ,

Tiens, je vois qu'Imed est passé et donne une idée (au fait Imed, ça te dérangerait d'éviter les abréviations ? parce que tu vas finir en SMS, et là je bloquerais ton post !), et devait particulièrement pressé puisqu'il (elle) a été particulièrement laconique
C'est un cas très particulier : là on arrive soit à la Physique, soit à la cinématique...
Pour avoir des s encore faut-il que la vitesse soit exprimée en m/s et l'accélération en m/s²... On pourrait avoir d'autres unités.
Mais encore une fois ce n'est pas f/f', si je pose t comme étant la variable désignant le temps, c'est le rapport f(t)/f'(t).
Dans les bouquins, f'(x0) n'est pas appelé dérivée mais nombre dérivé.

Je vais chercher (ça ne me vient pas à l'esprit) si en Physique, il y a d'autres exemples de quotients de ce type...
En maths pures, parce que les notions d'espace vectoriel, d'anneau en sont, j'avoue ma perplexité.

Si j'oublie la méthode de Newton et que je retiens que les formules suivantes post#9
une fonction f, sa dérivée f', le nombre dérivé en x0 : f'(x0), l'ordonnée f(x0) du point de la courbe représentative de f d'abscisse x0, l'équation de la tangente en x0 à la courbe est :
[tex]y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)[/tex]
alors je rejoins totomm (et Augustin) en prenant y =0, c'est à dire en cherchant l'intersection de la tangente avec l'axe des x (encore faut-il poser [tex] f'(x_0) \ne 0[/tex]),
on arrive à [tex]x-x_0=-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}[/tex]
Soit A le point d'intersection de la tangente avec l'axe des abscisses, M le point de la courbe d'abscisse x0 et H le projeté orthogonal sur ce même axe du point M, alors [tex]x-x_0=\overline{HA}[/tex] mesure algébrique du segment [HA] et [tex]\overline{HA}=-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}[/tex]

@+

Dernière modification par yoshi (24-05-2011 17:32:37)