Les vases communicants ...

totomm · 13-05-2011 17:50:35

Bonjour,

freddy Post #76 a écrit :

C'est le jeune Pascal qui remarqua un jour que la somme de la série partielle 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 se faisait de manière simple si on remarquait que les termes d'égale distance étaient de somme constante.

Non, c'est Johann Carl Friedrich Gauß en classe primaire.
Blaise Pascal, lui, avait re-démontré seul, à 7 ans, plusieurs dizaines des premiers théorèmes d'Euclide...C'est à partir de ce moment que son père continua son éducation mathématique

yoshi · 13-05-2011 18:06:58

Re,

Bon, ce sont des choses qui arrivent : attribuer à César ce qui appartient à Jules.
Pas de quoi en faire un fromage...
Que celui qui ne se trompe jamais lui jette la première pierre.
Tiens au passage, si tu écris Gauss à l'allemande avec le ß, alors il faut mettre un K et un non un C à Karl... ;-)
Précision : moi, je ne ne cause pas germain, ma chère et tendre, si : je lui ai demandé confirmation.

Donc STOP, Merci !
On en reste là : plus de vannes, tu vois bien : ça ne fait pas avancer le schmilblick.
Il n'y a qu'un pas du Capitole à la roche Tarpéienne !!!

@+

freddy · 13-05-2011 20:36:00

Re,

désolé mon grand, la légende est fausse : http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_arithm%C3%A9tique

Tout le monde sait que ce procédé sommatoire était connu bien avant le grand Gauss.

Pour le reste, je ne comprends rien à ton programme informatique, je ne connais que le langage mathématique. Donc si tu veux bien m'expliquer dans le langage des mathématiciens dont tu dis faire partie, je t'en remercie d'avance.

Bis bald !

totomm · 13-05-2011 21:50:44

Bonsoir,

Je peux et veux bien, volontiers, expliquer la solution de ce problème à qui est intéressé

@freddy : Acceptez-vous l'exposé du post #93 (12/05/2011 13:11:38) comme une démonstration pour i=0 ?
alors que vous avez juste consenti à lâcher un "ça a l'air intéressant" ?

J'admettrais alors que vous ayez besoin des mêmes développements pour i de 1 à 6 si vous ne savez pas lire un algorithme codé dans un programme correctement commenté, écrit en Python pour justement être facile à suivre....
Mais je peux aussi commenter la démarche qui aboutit au codage formel des règles des algorithmes pour qui en éprouverait le besoin, et dire comment visualiser simplement le codage des transferts...

J'ai lu quelque part, mon petit, qu'il faut savoir se donner les moyens de la réussite

Cordialement

freddy · 13-05-2011 22:52:26

Re,

tu as raison, je ne sais pas du tout lire un quelconque code que ce soit, surtout si je n'en ai pas l'usage.

Par contre, je sais assez bien lire des petits traités d'arithmétiques, par exemple.

Up to you !

totomm · 14-05-2011 00:17:46

Bonjour,

@yoshi : J'ai juste recopié les prénoms depuis : http://fr.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
mais vous avez bien des raisons d'être pointilleux sur la forme.

Quant au fond, je pense avoir fait avancer patiemment le schmilblick pendant un bon moment, et suis tout prêt pour quiconque voudrait en savoir plus.
Les résultats personnels auxquels je suis arrivé m'ont suffisamment enrichi, je peux les partager. Peut-être les trouve-t-on déjà exposés dans quelque manuel, ce qui ne me surprendrait pas, car quel problème n'a pas déjà été traité ! Mais à qui le saurait, de le dire simplement ! Ce forum n'est-il pas là pour cette raison ?

Je souhaite et espère que jpp va aboutir dans la voie qu'il s'est choisie.
Cordialement

yoshi · 14-05-2011 20:27:31

Re,

@totomm

@yoshi : J'ai juste recopié les prénoms depuis : http://fr.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
mais vous avez bien des raisons d'être pointilleux sur la forme.

Nan, nan ! Que ru l'écrives avec un C ou un K perso, bof, ça me dérange pas : en d'autres temps j'aurais laissé courir, tout comme l'orthographe déplorable de certains me hérisse le poil, mais que jamais je n'ai fait de remarque à quelqu'un là-dessus, sauf si ça entraîne une confusion dans la compréhension de la question.
Par contre, je suis ch... sur le respect de l'écriture internationale des unités... Ça c'est vrai.
Simplement, cher ami, tu faisais la leçon à freddy, alors j'ai simplement voulu te montrer, qu'en ce cas, si soi-même on laissait une faille, il fallait s'attendre à un revers lifté, j'en sais aussi quelque chose.
C'est pour ça que j'ai choisi cette citation latine, dont j'avais donné dans mon post, une version française dont je fais une interprétaion "libre"...

D'autre part, si je ne m'abuse (comme disait le bon docteur), tu fais un contresens : c'est le fait de balancer des piques qui ne fait pas avancer le schmilblick, je ne parlais pas de tes contributions informatiques...

Allez, l'incident est clos.
Je crois comprendre que freddy et toi êtes partis sur un quiproquo et que ça tourne donc au dialogue de sourds...

Mais il va falloir que j'approfondisse ça, pour être sûr de ne pas dire de c..ies.

@+

totomm · 15-05-2011 00:28:23

bonjour,

Votre "modération" est appréciée tant qu'elle reste modérée et suffisamment impartiale comme cette dernière...

Je ne veux pas rester sur un quiproquo, aussi, calmement, je vais rédiger complètement ma solution et la publierai en tant que "nouvelle discussion" car celle-ci devient trop encombrée.

Espérant que ni mon orthographe ni ma syntaxe ne vous dérangent,
merci, A+, cordialement.

nerosson · 15-05-2011 14:29:16

Salut à tous,

Freddy a inauguré une discussion de cinq pages, ce que je n'avais jamais vu ! Il est l'homme des records (je crois me souvenir que je lui avais fais cette remarque une autre fois de façon venimeuse, ce qui m'avait valu de me faire remonter les bretelles par Yoshi).

Cette fois-ci, je vais m'en prendre à Totomm. Il a écrit : "il y a des solutions pour n = 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10....".

Je lui reproche d' avoir omis le zéro ! C'est même la solution idéale pour les fatigués de naissance dans mon genre ! Les maths, c'est les maths : elles ne doivent jamais sortir du domaine théorique !

P.S. Freddy, pourquoi les urnes doivent elles être transparentes ?

Dernière modification par nerosson (15-05-2011 14:51:00)

freddy · 15-05-2011 16:38:55

Salut nerosson,

pour que tu ne puisses pas tricher !

totomm · 16-05-2011 11:13:00

Bonjour,

à tous et surtout au cher et vénéré nerosson qui est , comme déjà connu et dit, bien plus subtil et cultivé qu'il ne veut bien le faire croire :
Oui n=0 est bien une solution, pour ceux qui ne veulent pas bouger !
je me repens de ne l'avoir signalé...à moins qu'ayant dit : Pour n>0...

Cordialement

jpp · 16-05-2011 18:03:49

Bonsoir

j'ai une sratégie qui a l'air de fonctionner

je commence par les nombres impairs.

En fait il faut faire en sorte de ne transférer en absolu que [tex]2 + (n-2)[/tex] de l'urne A vers

l'urne B . Tous les autres transferts qui sont des navettes entre A et B totalisent [tex]0[/tex]

je commence à débiter A --> B d'une quantité [tex]\frac{p.(p+1)}{2}-2[/tex]. cette quantité

va devoir retourner dans l'urne A via un système de va - et - vient de [tex]p+1 à n-2[/tex] compris

que je balance de B --> C

Pour trouver [tex]p[/tex] il faut résoudre l'équation [tex]\frac{p.(p+1)}{2} = \frac{n - 2 - p}{2}[/tex]

c'est à dire [tex]p^2 + 2p - n - 2 = 0[/tex] . par exemple pour [tex]n = 13 --> p = 3[/tex]

jpp · 16-05-2011 19:48:22

re.

mais [tex]p[/tex] n'est pas toujours une racine entière.alors peut-etre faut-il inclure en plein milieu

des blocs(4) neutres [tex](+n-n)[/tex]

jpp · 17-05-2011 18:10:28

Bonsoir

pour les nombre pairs de la forme:
--------------------[tex]\frac{n.(n+1)}{2} = an + r[/tex] avec [tex]a = r[/tex]pairs ----------------------------------------- avec [tex]a = r[/tex] impairs

[tex]n = 12-->\begin{cases}Urne&B-----A-----C\\p_0&0-----36-----0\\p_1&1<----35-----0\\p_2&1-----33---->2\\p_3&4<----30-----2\\p_4&8<----26-----2\\p_5&3-----26--->>7\\p_6&9<<---26-----1---axe\\p_7&2---->33-----1\\p_8&10<----25-----1\\p_9&1---->34-----1\\p_{10}&11<----24-----1\\p_{11}&0-----24--->>12\\p_{12}&12<----12-----12\end{cases}n = 14\begin{cases}Urne&B-----A-----C\\p_0&0-----42-----0\\p_1&1<----41-----0\\p_2&1-----39---->2\\p_3&4<----36-----2\\p_4&8<----32-----2\\p_5&3---->37-----2\\p_6&3-----31---->8\\p_7&10<<---31-----1--axe\\p_8&2---->39-----1\\p_9&11<----30-----1\\p_{10}&1---->40-----1\\p_{11}&12<----29-----1\\p_{12}&0---->41-----1\\p_{13}&0-----28---->14\\p_{14}&14<----14-----14\end{cases}[/tex]

Dernière modification par jpp (17-05-2011 18:47:38)

jpp · 20-05-2011 22:20:01

Bonsoir

Soient 2 nombres pairs consécutifs tels 12 et 14 (post#114 ci dessus)

le premier étant de la forme [tex]n = 4m[/tex]

on peut toujours avoir à l'étape [tex]P_{\frac{n}{2}-1} \; \; \frac{n}{4}[/tex]boules dans l'urne[tex]B[/tex]

jusqu'à l'étape [tex]n-1[/tex] Il restera ensuite [tex]\frac{(n-1)-(\frac{n}{2}-1)}{2} = \frac{n}{4}[/tex] va et vient entre [tex]\frac{n}{2} et n-1[/tex] inclus si bien qu'à [tex]P_{n-1}[/tex] on a bien

0 boule dans l'urne B , 2n boules dans l'urne A et n boules dans l'urne C

jpp · 21-05-2011 10:58:02

Bonjour

En fait jusqu'à l'étape[tex]P_{\frac{n}{2}-1[/tex] ou [tex]B = \frac{n.(\frac{n}{2}-1)}{4}-2-s = \frac{n}{4}[/tex]

on obtient [tex]s = \frac{n^2 - 4n - 16}{8}[/tex]

pour [tex]n = 12 --> s = 10 et B_{(P_{\frac{n}{2}-1})} = \frac{6\times{5}}{2}-2-10 = 3 =\frac{n}{4}[/tex]

pour [tex]n = 16 --> s = 22 et B_{(P_{\frac{n}{2}-1})} = \frac{8\times{7}}{2}-2-22 = 4 = \frac{n}{4}[/tex]

pour [tex]n = 500 à P_{15} --> B = 118[/tex] à [tex]P_{249} --> B = 125[/tex]

entre [tex]P_{15} et P_{249}[/tex] il reste 234 transferts et 7 boules à ajouter à B

donc [tex]3\times{bloc_2(+1)} + 1\times{bloc_4(+4)} + 56\times{bloc_4(0)}[/tex]

pour avoir à [tex]P_{249} --> B = 125[/tex]

ensuite ce sont les memes va et vient qu'au poste #114

jpp · 24-05-2011 06:15:37

Bonjour

alors pour [tex] n[/tex] pair exemple n = 12

[tex] 2n = 3n - [ 1 + 2 +(3) + 4 - 5 - (6) - 7 + 8 - (9) + 10 + 11][/tex]

j' ajoute r=6 donc je change le signe de [tex] 3 = \frac{6}{2} = \frac{r}{2}[/tex]

tandis que [tex] 2 + (n-2) --> C[/tex]

à plus

Dernière modification par jpp (24-05-2011 19:38:43)

jpp · 31-05-2011 19:06:18

Bonsoir

pour signer correctement [tex]-n[/tex] je signe uniquement les [tex]p[/tex] qui sortent et qui rentrent

de l'urne [tex]A[/tex] qui est égale à [tex]3n[/tex]

ainsi si je prend [tex]n = 8 -> -n = -\frac{5\times{6}}{2} + 7 = -1-2-3-4-5 + 7[/tex]

je balance toujours [tex]2[/tex] dans l'urne [tex]C[/tex]

pour [tex]n = 10 -> -n = - 1 - 2 - 3 - 4[/tex] et tous les autres [tex]p[/tex] sont des

navettes entre [tex]B & C[/tex]

pour [tex]n = 12 -> -n = -\frac{6\times{7}}{2} + 9[/tex]

pour les nombres impairs je balance [tex]1 -> C[/tex] si [tex]a[/tex] est pair

[tex]2 -> C[/tex] si [tex]a[/tex] est impair

ainsi pour [tex]n = 9 -> -n = -\frac{5\times{6}}{2} + 6[/tex]

[tex]n = 11 -> -n = -\frac{6\times{7}}{2} + 10[/tex]

jpp · 31-05-2011 19:36:07

re

pour un nombre comme [tex]n = 13[/tex], à [tex]p = 8[/tex] on a [tex]13 - 26 - 0[/tex]

il faut appliquer un bloc (0) avec entre les 2 urnes B = n et C = 2n pour avoir de nouveau à

[tex]p = 12 = n-1 -n = -n +9 -10-11+12 = -n[/tex]

ainsi pour [tex]n = 13 --> -n = \frac{6\times{7}}{2} + 8 +(9-10-11+12)[/tex]

[tex]\frac{n.(n-1)}{2} = a.n = 6n[/tex] ou [tex]a[/tex]est pair . j'ai donc balancé [tex]1 --> C[/tex]

jpp · 31-05-2011 20:01:48

re

par exemple [tex]n = 13 \begin{cases}Urne&B-----A-----C\\P_0&0-----39-----0\\P_1&0-----38---->1\\P_2&2<----36-----1\\P_3&5<----33-----1\\P_4&9<----29-----1\\P_5&14<----24-----1\\P_6&20<----18-----1\\P_7&13-----18--->>8\\P_8&{\color{red}13-----26<----0}\\P_9&4---->35-----0\\P_{10}&14<----25-----0\\P_{11}&25<----14-----0\\P_{12}&{\color{red}13---->26-----0}\\P_{13}&13-----13---->13\end{cases}[/tex]

jpp · 31-05-2011 20:48:38

re

Avec un grand nombre comme [tex]n = 500 -> -n = -\frac{33\times{34}}{2} + 61 = -561 + 61[/tex]

à [tex]P_{33} --> B = 559 ---- C = 2[/tex]

entre [tex]P_{33} et P_{61}[/tex] j'effectue 28 navettes entre [tex]B <------> C[/tex]

pour avoir à [tex]P_{60} B=512 A=939 C= 49[/tex]

à [tex]P_{61} B = 451 A = 1000 C = 49[/tex]

après 98 navettes donc de [tex]P_{62} à P_{159} B = 500 A = 1000 C = 0[/tex]

mais pour avoir à nouveau[tex]P_{499} B=500 A=1000 C= 0[/tex] j'applique la formule de Pascal alternée entre B et A

entre [tex]P_{159} et P_{499}[/tex]il y a [tex]340 = 4\times{85}[/tex] étapes

alors [tex]A = 1000 + 160 - 161 +162....... - 329 - 330 + 331 -332 .... + 499 = 1000[/tex]

puis à [tex]P_{500} B = A = C = 500[/tex]

pour un nombre comme [tex]n = 502[/tex] j'effectue une navette de moins soit 27 navettes

et donc dans le dernier bloc j'aurais donc 2 lignes de plus au départ + les lignes 500 et 501 qui

donneront donc 4 lignes supplémentaires et mon bloc sera de [tex]4b = 4\times{86} = 344[/tex] lignes
Donc la stratégie fonctionne toujours . j'essaierai ce soir les grands nombres impairs.

à plus.

Dernière modification par jpp (01-06-2011 18:14:40)

jpp · 01-06-2011 22:40:35

Bonsoir

[tex]n = 34 --> -n = - \left[\frac{9\times{10}}{2}\right] + 11\begin{cases}Urne&---B-----A-----C\\P_0&---0-----102-----0\\P_{1-->9}&\begin{cases}P_1&1<----101-----0\\P_2&1-----99---->2\\P_3&3<----96-----2\\P_{..}&\\P_{..}&\\P_9&43<----57-----2\end{cases}\\P_{10}& 33-----57--->>12\\P_{11} (+11)& 33-----68<----1\\P_{12}& 21-----68--->>13\\P_{13}& 34<<---68-----0\\P_{14-->33}&bloc_0 34-----68-----0\\P_{34}& 34-----34---->34\end{cases}[/tex]

jpp · 03-06-2011 12:02:48

Bonjour voilà , je pense que si [tex]P_1 + P_2 +.......P_{(n-1)} = a\times{n} + r[/tex]

si [tex]a[/tex] est impair, alors je place uniquement 2 puis r-1 pour faire r+1 dans l'urne C

en ayant pris soin de basculer [tex]r de C--> B si a[/tex] est impair afin qu'il ne reste plus que 1 dans C.

à (n-1) on place n-1 dans C qui donne n dans C 2n dans A ou B

EX. [tex]n = 12 --> - 3n = - 1{\color{red} - 2} - 3 + 4 {\color{red}- 5 + 0} - 7 + 8 - 9 - 10{\color{red} - 11} = - 36[/tex] les transferts en rouge concernent l'urne C

pour généraliser la méthode avec [tex]a[/tex] impair j'alterne entre A et B de façon à avoir un bloc

[tex]i\times{(n - n)}[/tex] placé en symétrie de part et d'autre de l'axe [tex]P_r[/tex]

dans ce cas ou [tex]n = 12[/tex] tout est symétrique sauf les lignes:

[tex]1 + 6 + 7 + 10 = 24[/tex] en faveur de B

[tex]2 + 5 - 6 + 11 = 12[/tex] en faveur de C

Mais ces lignes là son facilement repèrables.

Dernière modification par jpp (03-06-2011 16:27:04)

jpp · 03-06-2011 17:26:28

Re

une autre méthode consiste à charger l'urne B avec [tex]\frac{n}{4} = \frac{r}{2} et \frac{3.n}{4}[/tex] avec par exemple [tex]n = 12 n = 16[/tex] entre autre.

pour n = 12 C = 3 + 9 , pour n = 16 C = 4 + 12 .

jpp · 03-06-2011 17:40:55

re

avec [tex]n = 12[/tex]

[tex]\begin{cases}Urne&B-----A-----C\\P_0&0-----36-----0\\P_1&1<----35-----0\\P_2&3<----33-----0\\P_3&0-----33--->>3\\P_4&4<----29-----3\\P_5&9<----24-----3\\P_6&15<----18-----3\\P_7&22<----11-----3\\P_8&30<----3-----3\\P_9&21-----3--->>12\\P_{10}&11---->13-----12\\P_{11}&0---->24-----12\\P_{12}&12<----12-----12\end{cases}-----n = 16-->\begin{cases}Urne&B-----A-----C\\P_0&0-----48-----0\\P_1&1<----47-----0\\P_2&3<----45-----0\\P_3&6<----42-----0\\P_4&2-----42--->>4\\P_5&7<----37-----4\\P_6&1---->43-----4\\P_7&8<----36-----4\\P_8&16<----28-----4\\P_9&25<----19-----4\\P_{10}&15---->29-----4\\P_{11}&26<----18-----4\\P_{12}&14-----18--->>16\\P_{13}&1---->31-----16\\P_{14}&15<----17-----16\\P_{15}&0---->32-----16\\P_{16}&16<----16-----16\end{cases}[/tex]

Dernière modification par jpp (03-06-2011 17:53:19)

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#101 13-05-2011 17:50:35

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#102 13-05-2011 18:06:58

Re : Les vases communicants ...

#103 13-05-2011 20:36:00

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#104 13-05-2011 21:50:44

Re : Les vases communicants ...

#105 13-05-2011 22:52:26

Re : Les vases communicants ...

#106 14-05-2011 00:17:46

Re : Les vases communicants ...

#107 14-05-2011 20:27:31

Re : Les vases communicants ...

#108 15-05-2011 00:28:23

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#109 15-05-2011 14:29:16

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#110 15-05-2011 16:38:55

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#111 16-05-2011 11:13:00

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#112 16-05-2011 18:03:49

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#113 16-05-2011 19:48:22

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#114 17-05-2011 18:10:28

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#115 20-05-2011 22:20:01

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#116 21-05-2011 10:58:02

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#117 24-05-2011 06:15:37

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#118 31-05-2011 19:06:18

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#120 31-05-2011 20:01:48

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#122 01-06-2011 22:40:35

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#125 03-06-2011 17:40:55

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