Racines d'un polynôme de dégré 4 [Résolu]

tsaloum · 10-12-2010 09:36:28

Bonjour,
J'ai lu un document en Anglais qui définisse des méthodes pour trouver les zéros des polynômes.
Enfin, Voilà quelqu'un a-t-il une formule ou une méthode qui permet de trouver tous les solutions d'une telle polynôme : [tex]2{x}^{4}-11{x}^{3}+23{x}^{2}-19x+5=0[/tex]

En posant [tex]P\left( x\right)=2{x}^{4}-11{x}^{3}+23{x}^{2}-19x+5[/tex]
j'ai eu 1 comme solution évidente P(1)=0 ensuite j'ai fait la division euclidienne qui m'a donné
[tex]P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(2{x}^{3}-9{x}^{2}+14x-5\right)[/tex]
là encore j'ai cherché d'autres racines évidentes même des racines complexes, je n'en ai pas eu.

Un coup de main s'il vous plait!!

Merci d'avance!

Dernière modification par tsaloum (10-12-2010 09:45:12)

freddy · 10-12-2010 10:16:06

Salut tsaloum,

tu es allé voir là : http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_polynomiale, et dans tous les autres liens ?

Bon courage !

yoshi · 10-12-2010 10:28:50

Re,

Encore une solution un peu moins "évidente" x = 1/2 : on voit que -9+14-5=0 donc 1 n'est pas solution, mais on ne devait pas être loin. Et puis il y avait le 2 de 2x^3...
[tex]2x^3-9x^2+14x-5=(2x-1)(x^2-4x+5)[/tex]

Moins pifométrique : Méthode Cardan (Jérôme)
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan

@+

[EDT]
Grillé par freddy...
Chacun son tour...

Dernière modification par yoshi (10-12-2010 10:29:41)

freddy · 10-12-2010 10:34:27

Re,

bigre, je pressens que la fin va être très difficile :-)))

yoshi · 10-12-2010 10:56:37

Re,

Pourquoi ça ?
Ces formules sont pénibles, mais si je fais :
[tex]x=X-\frac{b}{3a}=X+\frac 3 2[/tex]
j'arrive à :
[tex]2\left(X+\frac 3 2\right)^3-9\left(X+\frac 3 2\right)^2+14\left(X+\frac 3 2\right)-5[/tex]
[tex]2\left(X^3+\frac 9 2 X^2+\frac{27}{4}X+\frac{27}{8}\right)-9\left(X^2+3X+\frac 9 4\right)+14\left(X+\frac 3 2\right)-5[/tex]
Après simplifications, on tombe sur :
[tex]2\left(X^3+\frac 1 4 X+\frac 5 4\right)=0[/tex]
Et pas besoin d'aller plus loin : cette fois, il y a une "vraie" solution évidente X = -1.
D'où : [tex]x=-1+\frac{3}{2}=\frac 1 2[/tex]

@+

freddy · 10-12-2010 11:57:08

Re,

c'était un joke ! Je faisais référence à la résolution de l'équation du second degré (histoire de dire que tu avais fait tout le boulot !)

Bb

tsaloum · 10-12-2010 13:36:12

Merci Freddy et Yoshi comme toujours,
pour le 1/2 j'avais calculé et recalculé je n'ai pas eu 0, certainement une erreur de signe, je vais revoir ça.
En ce qui concerne l'équation [tex]{x}^{2}-4x+5[/tex]
il a deux solutions complexes : avec [tex]\delta={\left(-4\right)}^{2}-4\times 5=16-20=-4=4i²[/tex]
donc on aura [tex]{x}_{1}=\frac{4-2i}{2}=2-i\,;\,{x}_{2}=\frac{4+2i}{2}=2+i[/tex]

donc les solutions de l'équation sont : 1; 1/2; 2-i et 2+i.

Merci infiniment Yoshi et freddy!!!

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Racines d'un polynôme de dégré 4 [Résolu]

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