Forum de mathématiques - Bibm@th.net

freddy

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Re : problème de probabilité!

Re,

on continue pour la loi du couple [tex]\left(X_1, X_3 \right)[/tex]

c'est facile à calculer, en appliquant le principe : [tex]\Pr\left(X_1=i, X_3=j\right)=\Pr\left(X_3=j/X_1=i\right)\times \Pr\left(X_1=i\right),\;.\forall (i,j) \in \{0,1\}^2[/tex]

Pour i=1 et j=1, on voit que [tex]\Pr(j=1/i=1)=\frac{9.8}{19.18}+\frac{10.9}{19.18}=\frac{9}{19}[/tex], car il reste 19 poissons dont 10 Gris.
En développant un peu les autres calculs, on a :

[tex]\Pr(j=0/i=1)=\frac{9.10}{19.18}+\frac{10.9}{19.18}=\frac{10}{19}=1-\Pr(j=1/i=1)[/tex]

[tex]\Pr(j=1/i=0)=\frac{10.9}{19.18}+\frac{9.9}{19.18}=\frac{9}{18}=\Pr(j=0/i=0)[/tex]. Dans ce cas, il reste 19 poissons dont 9 Gris.

Puisque la [tex]\Pr(i=1)=\frac12=\Pr(i=0)[/tex] (cf ci dessus), on a la loi jointe :

[tex]\Pr(X_1=1,X_3=1)=\frac{9}{38},\;\Pr(X_1=1,X_3=0)=\frac{5}{19}[/tex]

[tex]\Pr(X_1=0,X_3=1)=\frac{1}{4},\;\Pr(X_1=0,X_3=0)=\frac{1}{4}[/tex]

et on vérifie que [tex]\sum_{i,j}\Pr(X_1=i,X_3=j)=1[/tex]

freddy

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Re : problème de probabilité!

Bonsoir,

ci après la formule de calcul définitive.

On définit  [tex]m=Max\left(i-10,0\right)[/tex] et [tex]M=Min\left(10,i\right)[/tex].

On a :

[tex]\forall \,i,\;1 \leq i \leq  20,\;p_i = \frac{1}{A_{20}^i}\times \left(\sum_{p=m}^{M-1}C_{i-1}^{p}\times A_{10}^{i-p}\times A_{10}^{p}\right)=\frac12[/tex]

"Et c'est mon dernier mot, Jean Pierre !"

freddy

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Re : problème de probabilité!

Pace e Salute !

Je reprends le sujet de Valentin pas le bout auquel il eût fallu le prendre, je pense.

Tout d'abord, on remarque que :

[tex]\Pr\left({X}_{7}=1/{X}_{6}=0,{X}_{5}=1,{X}_{4}=0,{X}_{3}=0,{X}_{2}=0,{X}_{1}=1\right)=\frac{10-2}{20-6}=\frac{4}{7}[/tex]

et de la même manière :

[tex]\Pr\left({X}_{5}=1/{X}_{4}=1,{X}_{3}=0,{X}_{2}=1,{X}_{1}=1\right)=\frac{10-3}{20-4}=\frac{7}{16}[/tex]

On observe aussi que :

[tex]\Pr\left({X}_{5}=0/{X}_{4}=1,{X}_{3}=0,{X}_{2}=1,{X}_{1}=1\right)=\frac{10-1}{20-4}=\frac{9}{16}=1-\Pr\left({X}_{5}=1/{X}_{4}=1,{X}_{3}=0,{X}_{2}=1,{X}_{1}=1\right)[/tex]

Et il n'aura échappé à personne que :

[tex]\Pr\left({X}_{5}=1/{X}_{4}=0,{X}_{3}=0,{X}_{2}=1,{X}_{1}=1\right)=\Pr\left({X}_{5}=1/{X}_{4}=1,{X}_{3}=0,{X}_{2}=1,{X}_{1}=0\right)=\frac12[/tex]

Dernier rappel  : [tex]\Pr\left(A\right)=\Pr\left(A/B\right)\Pr\left(B\right)+\Pr\left(A/\overline{B}\right)\Pr\left(\overline{B}\right)[/tex] dès lors que [tex] B\;et\;\overline{B}[/tex] forment un système complet d'événements (mutuellement exclusif et collectivement exhaustif).

Munis de tous ces rappels de la théorie des probabilités, on peut répondre à la première et à la seconde question.

Personnellement, j'aurais rajouté une dernière question du genre : sachant que j'ai pêché un poisson rouge au neuvième coup, quelle est la probabilité que le résultat de la seconde pêche fut un poisson gris ...

Dernière modification par freddy (16-08-2010 11:36:03)