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freddy

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révision bac- exo série C 1971 [Résolu]

Hello,

pour nos futurs bacheliers en phase de révision, voici un petit sujet d'arithmétique sorti en juin 1971.

1 - Déterminer toutes les valeurs de l'entier relatif n telles que [tex]\frac{n^2-9}{n^2-5n+4} \in Z[/tex]

2 - Quelle est la plus petite valeur p, positive et entière, telle que, pour tout x réel supérieur ou égal à p, on ait :

                                         [tex]\frac{x^2-9}{x^2-5x+4} < 2[/tex]

Enjoy !

Dernière modification par freddy (07-07-2010 22:45:23)

freddy

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Re : révision bac- exo série C 1971 [Résolu]

'soir !

Si on regarde bien, les deux solutions immédiates sont n = 3 et n = -3.

De plus, on a :

[tex]\forall n \in N\setminus\{1,4\},\;\frac{n^2-9}{n^2-5n+4}=1+\frac13\times \left(\frac{8}{n-1}+\frac{7}{n-4}\right)[/tex]

Il faut donc trouver n tel que  n-1 divise 8, n-4 divise 7 et que la somme des deux quotients soit divisible par 3.

Une troisième solution est n=5, ce qui donne [tex]1+\frac13\times \left(2+7\right)=2[/tex]

C'est la dernière car 7 est premier.

On en déduit que le nombre p recherché est égal à 5.

Bb

Dernière modification par freddy (07-07-2010 22:44:59)

franklino

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Re : révision bac- exo série C 1971 [Résolu]

vois tu, je me suis servi de certaines proprietes sur la divisibilte et curieusement, je trouve -3, 3, 5 et 11. mais seulement 11 ne verifie pas notre condition.

freddy

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Re : révision bac- exo série C 1971 [Résolu]

Salut,

ben oui : 11-4 = 7 qui divise 7, mais 11-1=10 qui ne divise pas 8.

Dans ma réponse, j'ai fait au plus court, sans donner les solutions qui conviendraient dans un cas et pas dans l'autre.

Bb