Forum de mathématiques - Bibm@th.net

franklino

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determiner trois entiers

Déterminer trois entiers A, B et C vérifiant
A-B < B-C < C < B < A < B+C et si de plus on a :
A+B+C=30

nerosson

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Re : determiner trois entiers

Bonjour, Franklino,

je propose : A = 13,   B = 11,   C = 6,

ce qui donne:

A - B = 2
B - C = 5
C = 6
B = 11
A = 13
B + C = 17

mais je doute que ça soit la seule solution.

Je continue à creuser.

nerosson

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Re : determiner trois entiers

Re,

encore moi !

Je trouve encore : A = 12,   B = 11,   C = 7

ce qui donne :

A - B = 1
B - C = 4
C = 7
B = 11
A = 12
B + C = 18

Je continue à creuser...

nerosson

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Re : determiner trois entiers

Re, re, Franklino,

J'arrête de creuser. J'ai l'impression qu'il n'y a pas d'autre solution.

Espérons que je ne vais pas me voir infliger un démenti. Je serais obligé de me faire seppuku. Je te prendrais comme second (tu sais, le type, derrière, avec le sabre...).

franklino

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Re : determiner trois entiers

oui, EN EFFET, il n'existe que deux solutions
mais dis moi un peu, comment tu fais pour retrouver ces solutions, serait ce par tatonnement ou quoi.

merci

nerosson

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Re : determiner trois entiers

Salut, Franklino,

C'est un peu vieux, je te réponds de mémoire.

D'abord, j'ai jugé que, puisque A < B+C, A ne pouvait pas être supérieur à 14, puisque les trois ensemble font 30.

Ensuite, j'ai cherché les différentes valeurs de B (chacune d'elles imposant une valeur donnée pour C) qui permette de satisfaire aux autres conditions.

Pour A=14, ça marchait pas.

Pour A=13 et pour A=12, on trouvait aisément une solution.

Pour les valeurs de A inférieure à 12, on se heurtait à des impossibilités.

thadrien

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Re : determiner trois entiers

Salut,

Dans ce problème, considère t-on que les nombres A, B et C sont positifs ?

freddy

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Re : determiner trois entiers

Re,

en fait, en travaillant les inégalités de départ et la contrainte sur la somme des trois termes, on obtient rapidement :

10 < B < A < 15 et 10 > C > 5 (et 2C > B). Donc on a uniquement les possibles suivants :

B = 11 et A = 12, 13 ou 14 et C > 5 => seules solutions B=11, A =12 et C = 7 ou  A = 13 et C = 6.

B = 12 et A = 13 ou 14 et C > 6 => impossible.

B = 13 et A= 14 et C  > 6 => impossible.

Bb

nerosson

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Re : determiner trois entiers

Salut à tous,

C'est pareil que ce que j'ai dit, mais beaucoup plus savamment....

freddy

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Re : determiner trois entiers

Salut camarade,

non, ce n'est pas savant, c'est simplement la démonstration de l'existence de 2 uniques solutions.

Pinaillerais tu ?

Dernière modification par freddy (23-06-2010 14:05:49)

franklino

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Re : determiner trois entiers

salut
je voulais bien voir cette preuve de Freddy, il est plus detaille. merci

freddy

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Re : determiner trois entiers

Re,

en fait, en travaillant les inégalités de départ et la contrainte sur la somme des trois termes, on obtient rapidement :

10 < B < A < 15 et 10 > C > 5 (et 2C > B). Donc on a uniquement les possibles suivants :

B = 11 et A = 12, 13 ou 14 et C > 5 => seules solutions B=11, A =12 et C = 7 ou  A = 13 et C = 6.

B = 12 et A = 13 ou 14 et C > 6 => impossible.

B = 13 et A= 14 et C  > 6 => impossible.

Bb

Bonjour,

à la demande d'un internaute, voici comment on arrive à encadrer les solutions.

Tout d'abord, on a A < B+C donc 2A < A+B+C = 30 => A < 15

Ensuite, on sait que B - C < C donc B < 2C.

On peut en outre  écrire A + B + C < 15 + B + C soit 30 < 15 +B +C

donc on déduit que C < B < A < 15 < B + C

Ensuite, on a : 2C > B, donc 3C > B + C > 15 donc C > 5

On continue par :

A-B < B-C donc A+B < 3B-C donc A+B+C < 3B => 30 < 3B => 10 < B

On sait à ce stade que 10 < B < A < 15 et que 5 < C et C > B/2.

Enfin, on montre ceci :

C < B et C < A donc 3C < A+B+C => 3C < 30 => C < 10.

Conclusion :

5 < C < 10 < B < A < 15 et C > B/2 et A+B+C =30

Dernière modification par freddy (19-07-2010 07:52:21)