Forum de mathématiques - Bibm@th.net

sedah

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Suite arithmétique [Résolu]

Bonsoir;

j'aurai besoin de vous SVP pour me dire si mon exercice est bon ou pas ?
Merci :)

Soit la suite (Un) definit par Un=3n-4.(Un) est t'elle une suite arythmetique ? si oui preciser sa raison r et son terme U0.

Je sais que une suite arythmetique  c'est les points qui semblent alignés , sa formule est Un+1=Un+r
pour la calculer le prof m'a dit que calculer la difference entre Un+1-Un
voici ce que j'ai fais :

Un+1 - Un
3n-4+1-3n-4
=-7

puis j'ai remplacé U0 ds la suite
soit :
3n-4
3*1-4
U1 =-1

U2=3n-4
U2=3*2-4
U2=-1

U3=2 et U4=5

cependant j'ai remarqué que l'on ne pouvait pas trouver la raison r mais ensuite j'ai remplacé U0 ds la suite t U0= -4 et non à -7
ainsi j'ai

U0=-4
U1=-1
U2=2

et r = 3

est ce que c'est ç

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 385

Re : Suite arithmétique [Résolu]

Bonsoir,

Ce n'est pas comme ça qu'il faut procéder...
Tu dois effectivement arriver à écrire : [tex]U_{n+1}=U_n+r[/tex]
Et alors tu sauras que
*  ta suite est une suite arithmétique,
* la raison est r.

Le problème est que tu n'a pas compris que lorsqu'on passe de  [tex]U_n[/tex] à  [tex]U_{n+1}[/tex], n devient n+1, le résultat de la somme de n et de 1, autrement dit (n+1) : c'est là que t'es trompée...
Ce n'est pas  [tex]U_{n+1}=3n-4+1[/tex] mais [tex]U_{n+1}=3(n+1) - 4[/tex]
Ce qui donne  [tex]U_{n+1}=3n-1[/tex]
Et alors tu calcules  [tex]U_{n+1}-U_n=3n-1-(3n-4)= 3[/tex]
ET donc tu peux écrire : [tex]U_{n+1}=U_n+3[/tex]

Les calculs que tu as fait à la fin sont justes mais ne prouvent rien, ce ne sont que des exemples et ce n'est valable que pour n = 0, 1 et 2 et non toujours vrai...

C'est clair ?

@+

franklino

Membre

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Messages : 86

Re : Suite arithmétique [Résolu]

Bonjour
Tout d’abord, je dois dire que nous pouvons par abus écrire
  Un = U(n) = 3n – 4 .
Notre suite (Un) est bien sûr définie dans |N = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … }.
Ainsi, son premier terme est U0, le second est U1, le troisième est U2, … et  par induction, le n-ième terme est Un-1.
Le terme qui précède le n-ième terme Un-1, est le (n – 1)ième terme qui est U[(n-1) - 1] = Un – 2 ; et celui qui suit  le n-ième terme Un-1, est le
(n +1)ième terme qui est U[(n+1) - 1] = Un

Excusez moi pour les répétitions, mais tout ceci pour dire que : montrer que (Un ) est une suite arithmétique revient tout simplement à montrer que l’on a la relation suivante :   Un – 1 = (Un + Un – 2) / 2
                   Alors on a :

Un – 1 = U(n – 1 ) = 3(n – 1 ) – 4 = 3n – 7

Un – 2 = U(n – 2) = 3(n – 2) – 4 = 3n – 10

Un = U(n) = 3n – 4
 
          (Un+ Un – 2) = (3n – 4) + (3n – 10)
                              = 6n – 14
                          Par la suite
            (Un + Un – 2) / 2 = (6n – 14) / 2
                                       = 3n – 7
                                       = Un – 1
Et donc (Un ) est une suite arithmétique de raison r = U1 – U0 = -1 – (-4 ) = 3 et de premier terme U0=-4.

vous comprendrez  que lorsque j'écris Un-1, (n-1) est biensur en indice et tout lereste.

merci

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Suite arithmétique [Résolu]

RE,

@franklino
Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?
Ma proposition :

L'énoncé donne : Soit la suite [tex]U_n[/tex] définie par [tex]U_n=3n-4[/tex]

Alors [tex]U_{n+1}=3(n+1) - 4 = 3n-1[/tex]

On calcule : [tex]U_{n+1} - U_n = 3n - 1 -(3n - 4[/tex]

D'où [tex]U_{n+1} - U_n = 3[/tex]

Conclusion : [tex]U_{n+1}=U_n + 3[/tex]

Donc, d'après la définition la plus couramment employée :
*  ta suite est une suite arithmétique,
* la raison est 3.

Ta proposition :

Un = U(n) = 3n – 4 .
Notre suite (Un) est bien sûr définie dans |N = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … }.
Ainsi, son premier terme est U0, le second est U1, le troisième est U2, … et  par induction, le n-ième terme est Un-1.
Le terme qui précède le n-ième terme Un-1, est le (n – 1)ième terme qui est U[(n-1) - 1] = Un – 2 ; et celui qui suit  le n-ième terme Un-1, est le
(n +1)ième terme qui est U[(n+1) - 1] = Un

Excusez moi pour les répétitions, mais tout ceci pour dire que : montrer que (Un ) est une suite arithmétique revient tout simplement à montrer que l’on a la relation suivante :   Un – 1 = (Un + Un – 2) / 2
                   Alors on a :

Un – 1 = U(n – 1 ) = 3(n – 1 ) – 4 = 3n – 7

Un – 2 = U(n – 2) = 3(n – 2) – 4 = 3n – 10

Un = U(n) = 3n – 4

          (Un+ Un – 2) = (3n – 4) + (3n – 10)
                              = 6n – 14
                          Par la suite
            (Un + Un – 2) / 2 = (6n – 14) / 2
                                       = 3n – 7
                                       = Un – 1
Et donc (Un ) est une suite arithmétique de raison r = U1 – U0 = -1 – (-4 ) = 3 et de premier terme U0=-4

Où est l'économie de moyens et de calculs, chez toi ou chez moi ?
A moins que tu ne prétendes en disant

montrer que (Un ) est une suite arithmétique revient tout simplement à montrer que l’on a la relation suivante :   Un – 1 = (Un + Un – 2) / 2

que la formulation que j'ai employée :

Tu dois effectivement arriver à écrire : [tex]U_{n+1}=U_n+r[/tex]
Et alors tu sauras que
*  ta suite est une suite arithmétique,
* la raison est r.

est une formulation incorrecte ou inadaptée ?

Si je prends des gants, tu risques de passer à côté de ce que je veux dire, donc je vais être un poil moins diplomate, donc légèrement plus "direct" au risque de froisser ta sensibilité...
En l'occurrence donc, JE trouve que TA procédure, tout en étant parfaitement correcte, n'apporte rien de mieux à ce que j'ai écrit : si sedah n'avait pas été satisfaite elle serait revenue à la charge.
Au contraire, tu lui donnes à croire :
- que plus il y a de calculs, mieux c'est,
- que ma formulation ne te satisfait pas.
Tu rajoutes donc, à quelque chose de clair, un "bruit de fond" inopportun : je n'ai fait appel qu'à [tex]U_{n+1}\text{ et }U_n[/tex], toi tu as eu besoin d'un 3e indice supplémentaire et d'une moyenne arithmétique...

En outre, tu lui suggères une méthode autre que celle demandée par le Prof :

le prof m'a dit que calculer la difference entre Un+1-Un

Tu cherches quoi ? A prouver que toi aussi, tu sais faire ?
Inutile, c'est évident...

Alors que ça te plaise ou non, je te demande très respectueusement de ne plus en rajouter derrière mes réponses, sauf pour signaler une erreur bien sûr : ça arrive, rarement, mais ça arrive...
Dans le cas contraire, je me réserve la possibilité de sortir les ciseaux d'Anastasie, si tu ajoutes un bruit de fond inutile.
Oui, je sais : tu as le droit !
Mais tu as aussi le devoir (moral) d'essayer de ne pas mettre la pagaille dans la tête de ceux qui demandent des explications, parce qu'ils n'en ont pas besoin et qu'il en faut peu pour ça : tu verras après 5 ans de carrière (moi : 38), tu comprendras ça !
Me suis-je bien fait comprendre ?

@+

   Yoshi
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