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#76 03-05-2010 10:16:59
- Valentin
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Re : problème d'analyse!
Salut à tous,
Thadrien, tu mérites une médaille, puisque à mon post 32 j'avais pensé et essayé de raisonner par récurrence, en vain! En tout cas un grand merci à toi et à Freddy. Thadrien dit dans son raisonnement :"...comme Q est associatif...", en fait il pouvait simplement dire, peut-être, "...comme Q est un corps..."!
Ouf mon devoir est enfin terminé!
Je vous fais connaître la méthode d'un formateur de prof sur mon fameux polynôme!
Valentin
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#77 03-05-2010 10:59:26
- Valentin
- Membre
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- Messages : 143
Re : problème d'analyse!
Pour la question du polynome, en fait, il faut lire : [tex]{z}^{n}+{z}^{-n}={P}_{n}\left(z+{z}^{-1}\right)\,càd\,{P}_{n}dépend\,de\,z+{z}^{-1\,}et\,non\,pas\,multiplié\,par\,z+{z}^{-1}[/tex]
Dans ce cas, je pense qu'il s'agit d'un polynome de Tchebychev de première espèce, je suis donc arrivé à:
[tex]\cos \left(nx\right)={P}_{n}\left(\cos \left(x\right)\right)\Longleftrightarrow {z}^{n}+{z}^{-n}={P}_{n}\left(z+{z}^{-1}\right)\,avec\,{P}_{n}={\sum^{E\left(\frac{n}{2}\right)}_{p=0}}^{}_{}{\left(\cos \left(x)\right)\right)}^{n-2p}{\left({\cos }^{2}\left(x\right)-1\right)}^{p}{C}^{2p}_{n}[/tex]
après je ne sais pas!
Un formateur de prof m'a rassuré qu'il s'agit bien d'un polynôme de Tchebychev du degré n du première espèce. Il m'a reformulé différemment la question: ses étapes sont les suivantes:
Exprimer [tex]\cos n\theta[/tex] comme une fonction polynomiale de [tex]\cos \theta[/tex] En déduire l'existence d'un polynôme [tex]{P}_{n}\left(X\right)[/tex] unitaire de degré n tel que [tex]\forall \,z\in \mathbb{C}\,\left|z\right|=1\,:\,{z}^{n}+{z}^{-n}={P}_{n}\left(z+{z}^{-1}\right)[/tex]
En utilisant la formule du binôme de Newton, comme je l'avais fait, il arrive donc à ceci:
[tex]{z}^{n}+{z}^{-n}=2{Q}_{n}\left(\frac{z+{z}^{-1}}{2}\right)={P}_{n}\left(z+{z}^{-1}\right)\Rightarrow {P}_{n}\left(X\right)=\frac{1}{{2}^{n-1}}\sum^{}_{p=0}{\left(-1\right)}^{p}{C}^{2p}_{n}{X}^{n-2p}{\left(4-{X}^{2}\right)}^{p}[/tex]
De l'équation (Eq) [tex]\cos \left(n+1\right)x+\cos \left(n-1\right)x=2\cos x\cos nx\,\Rightarrow {P}_{n+1}\left(X\right)+{P}_{n-1}\left(X\right)={P}_{1}\left(X\right){P}_{n}\left(X\right)[/tex]
C'est génial! Qu'en pensez-vous? En fait, la grosse difficulté était plutôt l'énoncé ambiguë!
Valentin
Dernière modification par Valentin (03-05-2010 11:02:01)
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