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SébastienB

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Lieu : Annecy

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Particularité d'une relation [Résolu]

Bonjour,

Je recherche la particularité d'une relation cartésienne pour un exercice :
Soit [tex]E[/tex] un ensemble fini muni d'une relation d'équivalence [tex]\Re[/tex]. On numérote d'abord les classes d'équivalence de [tex]\Re[/tex], puis les éléments de [tex]E[/tex] en commençant par ceux de la première classe d'équivalence, puis par ceux de la deuxième, ainsi de suite jusqu'a la dernière. Avec cette façon de ranger les éléments de [tex]E[/tex], quelle est la particularité de la représentation cartésienne de [tex]\Re[/tex]. (comme exemple, prendre [tex]E = \big\{0,1,2,3,4,5,6,7\}[/tex] et [tex]x \Re y \Leftrightarrow x - y[/tex] est multiple de 3).

Ma représentation cartésienne du problème est :

[tex]\begin{tabular}{ccccccccc} &0&1&2&3&4&5&6&7\\ 0 & \blacksquare & \blacksquare & & \blacksquare & & & \blacksquare & \bigskip \\ 1 & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & & \blacksquare & & &\blacksquare \bigskip \\ 2 &  & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & & \blacksquare & & \bigskip \\ 3 & \blacksquare & & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & & \blacksquare &  \bigskip \\ 4 & \bigskip & \blacksquare & & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare &  & \blacksquare \end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{ccccccccc}5& \bigskip & & \blacksquare & & \blacksquare & \blacksquare&\blacksquare  & \\ 6 & \blacksquare & & & \blacksquare & \bigskip  & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\ 7 & \bigskip & \blacksquare & & & \blacksquare & & \blacksquare & \blacksquare \end{tabular}[/tex]

[tex]\bullet \Re \text{ est réflexive:}[/tex] Soit [tex]a[/tex] un élément quelconque de [tex]E. a - a = 0 = 3 \times 0 \text{, ainsi } (\forall a \in E)(a \Re a)\end{itemize}[/tex]

[tex]\bullet \Re \text{ est symétrique:}[/tex] Soient [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] deux éléments de [tex]E[/tex]. Supposons [tex]a \ \Re \ b [/tex], alors il existe [tex]p \in \mathbb{Z}[/tex] tel que [tex]b - a = 3p[/tex], en inversant les termes par rapport au signe égal, on obtient [tex]a - b = -3p = 3 \times (-p) [/tex] et donc [tex]b \ \Re \ a[/tex]. Ainsi, [tex](\forall a \in E)(\forall b \in E) \big((a \ \Re \ b) \Rightarrow (b \ \Re \ a)\big)[/tex]

[tex]\bullet \Re \text{ est transitive:}[/tex] Soient [tex]a; b[/tex] et  [tex]c[/tex]  trois éléments de [tex]E[/tex] , supposons que [tex]a \ \Re \ b[/tex]  et  [tex]b \ \Re \ c[/tex] alors il existe [tex]p[/tex] et  [tex]q[/tex] deux entiers relatifs tels que [tex]b - a = 3p[/tex] et [tex]c - b= 3q[/tex], en ajoutant membre à membre ces deux égalités, on obtient [tex]c-a = 3(p + q)[/tex] et donc [tex]a \ \Re \ c[/tex]. Ainsi, on a démontré que :
[tex](\forall a \in E)(\forall b \in E)(\forall c \in E)\big([(a \Re b)\land (b \Re c)] \Rightarrow (a \Re c)\big)[/tex]

On peut donc ranger les éléments de [tex]E[/tex] dans différents sous ensembles appelés classes d'équivalences, dont ils sont en relation avec un des éléments: [tex]\frac{E}{\Re} = \big\{\bar{0};\bar{1};\bar{2}\big\}[/tex]

Mais je ne suis pas sur d'avoir bien compris cette façon de numéroter les éléments dans les classes d'équivalence, dans cet énonçé, c'est une identification relative (le 1er élément de la 1ere classe, le 2nd élément de la 1ere classe, le 1er élément de la 2e classe, le 2nd élément de la 2ere classe, etc.) ?

Que faut il comprendre et quelle est la particularité de cette relation à part qu'elle est parfaitement réflexive et symétrique ?

Pouvez vous me donner votre point de vue s'il vous plaît ?

PS: en tant que fan du [tex]\LaTeX[/tex] je souhaiterai pouvoir en écrire un peu + entre deux balises [ tex]. De plus, j'ajouterai que ce serait vraiment génial pour votre forum si on pouvait poster du code PSTricks comme cela on pourrait y voir des dessins géométriques de bonne qualité. Bon sur ce je vous souhaite une bonne soirée.

Fred

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Re : Particularité d'une relation [Résolu]

Bonsoir,

  Alors, si je reprends ton exemple, on a effectivement trois classes.
On ordonne les éléments dans cet ordre : 0,3,6,1,4,7,2,5
En effet, on prend d'abord les 3 éléments de la classe de 0, c'est-à-dire 0,3,6.
Puis les éléments de la classe de 1, c'est-à-dire 1,4,7
Puis ceux de la classe de 2, donc 2,5

La représentation cartésienne est alors :

   0  3  6  1  4  7  2  5
0  x  x  x
3  x  x  x
6  x  x  x
1              x  x  x
4              x  x  x
7              x  x  x
2                         x  x
5                         x  x

[edit : les x sont pas exactement là où ils devraient être, mais je pense que tout le monde comprendra...]
Elle est donc constituée de carrés tous disposés sur la diagonale du tableau.
C'est aussi le cas en général, et c'est je pense la particularité qu'on te demande dans cet exercice.

Fred.

SébastienB

Membre

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Re : Particularité d'une relation [Résolu]

Bonjour,
Merci pour cette précision.
@+