Forum de mathématiques - Bibm@th.net

sedah

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Fonctions affines par parties [Résolu]

bonsoir , j 'aurai besoin de vous SVP pour m 'expliquer des questions  dans mon exercice .
MERCI :)

[AB] est un segment de 4cm et M est un point de ce segment
On construit du meme coté de [AB] les carrées ACDM et MEFB
On pose AM=x , l 'unité de longeur etant le centimetre .
On note p(x) le perimetre (en cm) du polygone ACDEFB
1) faire 2 figures , l 'une avec x=1 et l 'autre avec x = 2,5
calculer p(1) et p(2,5)
2) Exprimer p(x) en fonction de x lorsque 0<(=) x <(=) 4
on envisagera 2 cas suivant que AM>(=) BM ou AM<(=) BM
et on prouvera que la fonction p est affine sur [0;2] et sur [2;4]
3) representer graphiquement la fonction p
4)determiner graphiquement le seul reel x pour lequel le perimetre p(x) du polygone ACDEFB est minimale
preciser alors la position du point M pour que le peripherique soit minimal

1) j 'ai fait les 2 figures
pour p(1) = 12cm²
pour p(2,5) = 12cm²

par contre je ne comprend pas la question 2 pouvez vous m 'aider SVP
merci

yoshi

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Re : Fonctions affines par parties [Résolu]

Bonsoir Sedah,

Question 1
Tes calculs sont faux : p(1)=14 et p(2,5)=13...

Question 2
Cas n°1 AM <= BM.
Si ton dessin est correct tu peux constater que le point D appartient au segment [MF].
Le périmère du quadrilatère ACDFEB se calcule ainsi :
BA + AC+CD+ DF+FE+EB
ACDM est un carré : les 4 côtés sont égaux : MA =AC =CD=DM = x. En ce qui concerne le carré MFEB, ses 4 côtés aussi sont égaux : BM=MF = FE =EB = 4-x
Le problème est dans le calcul de DF.
Puisque D est entre  M et F alors DF = MF  -DM = (4-x)-x = 4-2x
Maintenant p(x) = BA +AC +CD +DF+FE+EB
Et tu vas remplacer BA par 4, AC et CD (comme dit plus haut) par x, DF par 4-2x et FE et EB par 4-x. Et tu simplifies le tout.

Cas n°2 AM>=MB
Si là aussi ton dessin est bien fait tu constates que , cette fois, c'est F qui appartient au segment [MD], et que le périmètre est cette fois aussi  : BA+AC+CD+DF+FE+EB.
De même, MACD étant un carré, on a encore MA=AC=CD=DM=x
et BMFE étant aussi un carré on a encore BM=MF=FE=EB=4-x.

Qu'est-ce qui change alors ? Réponse : le calcul de DF.

En effet F est entre M et D cette fois; donc DF = MD-MF = x-(4-x) = 2x-4
Et p(x) = BA + AC+CD+DF+FE+EB où tu vas remplacer  BA par 4, AC par x, CD par x, mais DF  par 2x-4, FE et et EB par 4-x..
Et tu simplifies
Quant aux fonctions affines :
si AM <= MB alors 0 <= x <=2, donc sur [0;2], tu as p(x)= 16-2x  et la fonction p est bien telle que pour tout x de cet intervalle p(x)=ax+b avec a = -2 et b=16.
La fonction p est bien affine sur [0;2]
Et si AM <=MB alors  2<= x <=4 et cette fois on est sur l'intervalle [2;4] où p a une autre expression en fonction de x. Montrer que, là aussi, p est affine se fait de la même façon en montrant que p(x)=ax+b et en disant combien vaut a et combien vaut b.             

Question 3
Si tu fais un graphique correct, tu as un segment de droitre qui descend du point (0;16= jusqu'au point (2;12) puis un deuxième segment de droite qui remonte du point (2;12) au point (4;16)
Normal !
Si x = 0, il n'y a plus qu'un carré BMFE de 4 cm de côté et de périmètre 4 * 4 = 16
Si x=4, il n'y a plus seul carré : ACDM (M est sur B) de périmètre 4*4 =16

Question 4. ton minimum est atteint  pour le point le plus bas du graphique (2;12)
donc pour x = 2 et pour M au milieu.
Pour x = 2, le point M est au milieu de [AB]: les 2 carrés MACD et BMFE sont "égaux", les points D et F sont confondus et on a un grand rectangle BACE de Longueur 4 et de largeur 2 et dont le périmètre est 4*2+2*2= 12

@+

[EDIT]
Comme indiqué dans le message #4, j'ai fait une erreur : j'ai interverti les lettres E et F. La démonstation reste valable à condition donc, d'intervertir ces deux lettres

Dernière modification par yoshi (22-02-2009 09:54:55)

sedah

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Re : Fonctions affines par parties [Résolu]

bonjour yoshi
desolé pour le retard
non pour moi selon ma figure D n est pas le mileu de MF
voici un a peu pres de mon schema
                 
                  C                 D

                         
                   A                M                          B

                                     

                                       E                        F

apparement le schema ne corespond pas de plus lorsque j 'eassaye de calculer le perimetre je ne trouve pas comme vous
pouvez vous m 'aider SVP
:(
MERCI

yoshi

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Re : Fonctions affines par parties [Résolu]

Coucou sedah,

Si je sais encore lire, dans ton énoncé, il est écrit que :

On construit du même côté de [AB] les carrés ACDM et MEFB

et ton dessin ne me semble pas répondre à cette condition, non ?
D'autre part, où ai-je écrit que "D est le milieu de [MF]" ? J'ai dit que D était placé entre M et F ! Mais j'ai écrit que le minimum est atteint pour M milieu de [AB]...
Par contre, là où j'ai fait erreur (tu voudras bien m'en excuser : je t'ai répondu depuis une chambre d'hôpital, où je sortais d'anesthésie qq heures avant... mon esprit n'est probablement pas assez clair quand j'ai mis les lettres sur mon dessin) j'ai interverti E et F. Ce qui change les lettres E et F de mon explication, pas l'explication elle-même...

Donc cas n° 1 AM <= MB.
Lire : Périmètre = BA + CD + DE + EF + FB
D est placé entre M et E.
MD = AM = x
ME = BM = 4 - x
Donc DE = ME - DM = (4 - x) - x = 4 - 2x

Cas n°2 AM >= MB
Lire : Périmètre = BA + AC + CD +DE+ EF + FB
E est placé entre D et et M.
Donc MD = AM = x
ME = BM = 4 - x
Donc  DE = DM -  ME = x -(4 - x) = 2x - 4.
Tu peux voir que ça ne change pas mes calculs.
Dans le post #2, il suffit d'intervertir les lettres E et F : quand je parle de F, lire E, quand je parle de E lire F.

Voilà, ça te va maintenant ?

@+

sedah

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Re : Fonctions affines par parties [Résolu]

bonsoir yoshi
desolé mais je ne comprend pas pourqouià la question 2 dans votre message vous repenez 2 fois AM<= MB ( dois faire pareil avec AM>= MB ?)
de plus je ne sais pas de quel seconde focntion vous parlé ?
pouvez vous m 'aider je suis un peu perdu
MERCI

sedah

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Re : Fonctions affines par parties [Résolu]

est ce que la deuxieme fonction se serait pas
16-4x ??
merci

yoshi

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Re : Fonctions affines par parties [Résolu]

Bonjour,

pourqouià la question 2 dans votre message vous repenez 2 fois AM<= MB

Où ça, dans quel message #2 ou #4 ? Je ne comprends pas ce que tu dis ! Montre-moi !

Que l'on soit dans le cas n°1 AM <= MB, ou le cas n°2 AM >= MB le périmètre se calcule en faisant :
BA + AC + CD + DE + EF + FB.
D'accord ou pas ?
Dans les deux cas, puisque M est placé entre A et B, que AM = x et AB = 4, alors BM = 4 - x.
Le côté du carré MACD  mesure donc  MA = AC = CD = DM = x
Le ct" du carré BMEF mesure donc  MB = BF = FE = ME = 4 - x
Il n'y a qu'une chose qui change  : le calcul de DE. D'accord ou pas ?

Cas n°1 AM <= MB
C'est le cas du dessin (puisqu'il est fait pour AM = x = 1)
Tu as : [tex]D \in[ME][/tex], donc DE = ME - MD = (4- x) -x
Et p(x) = 4 + x + x + 4 - 2x + 4 - x + 4 - x

Cas n°2 AM > = MB
Tu as : [tex]E \in[MD][/tex] cette fois donc DE = MD - ME (dans le cas n°1 c'était  DE = ME - MD).
Je reprends  : DE = x - (4 - x)
Et p(x) = 4 + x + x + x - ( 4 - x) + 4 - x + 4 - x
A toi de jouer (faut bien que je te laisse quelque chose à faire...

@+

[EDIT]
Non, la deuxième fonction (mais c'est vrai qu'il s'agit d'une deuxième forme de la fonction p, pas d'une deuxième fonction) n'est pas p(x) = 16 - 4x. Ainsi que je te l'ai dit dans le message #2 : p(2,5)=13
Or ici, avec ta formule p(2,5) = 16 - 4 *2,5 = 6 ; ça ne colle pas
Dans cette forme de p, p(x) = ax + b : a et b sont tous deux positifs. Sinon ton graphique ne "remontera pas" du oint (2 ; 12) au point (4 : 16)

Dernière modification par yoshi (22-02-2009 10:00:09)

sedah

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Re : Fonctions affines par parties [Résolu]

bonjour Yoshi et merci
:)
donc pour le cas AM>= MB
p (x) = 4+x+x+x-4+x+4-x+4-x
p(x) = 8+2x
a = 2
b= 8
donc p(x)=2x+8 est affine sur l 'intervalle [2;4]
lorsque je trace la reprsentation graphique j 'a appélé le fonction p(x) lorqu 'elle est croissante puis decroissante et crosissante de nouveau
est ce ça ?

yoshi

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Re : Fonctions affines par parties [Résolu]

Bonsoir,

Oui, c'est ça... A part que quand tu écris "lorsqu 'elle est croissante puis decroissante et crosissante de..." tu m'inquiètes un peu...

Il y a deux expressions de la fonction selon que [tex]x\in\;[0 ; 2][/tex] ou [tex]x\in\;[2 ; 4][/tex] :
--> sur [0 ; 2] on a p(x) = 16 - 2x, la fonction est décroissante : elle est représentée par un segment qui va du point (0 ; 16)  au point (2 ; 12)
--> sur [2 ; 4] on a p(x) = 8 + 2x, la fonction est croissante : elle est représentée par un segment qui va du point (2 ; 12) au point (4 ; 16).

Graphiquement, le minimum est indiqué par le point le bas, soit (2 ; 12)
Donc la fonction p admet un minimum pour x = 2, valeur qui est obtenue lorsque M est le milieu de [AB]

Ca y est ?

@+

sedah

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Re : Fonctions affines par parties [Résolu]

oui c 'est bon :):)
MERCI BEAUCOUP :):)