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ann@

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espace vectoriel projecteur [Résolu]

Bonjour et joyeuses fêtes,
voici un exercice que je ne parviens pas à résoudre :
soit E un K espace vectoriel et f un endomorphisme de E tel qu'il existe (a,b)appartenant à K^2 tels que  f^2-(a+b)f+(ab)Id=0 (1)

q1 : montrer qu' il existe l et m tels que p=l(f-aIdE) et q=m(f-bIdE)  soient deux projecteurs
(q2 : calculer f^n à l'aide de p et q)
pour montrer que p et q sont deux projecteurs il faut déjà trouver deux sous espaces supplémentaires de E E' et E" où p et q sont des projections de E' parallèlement à E"
mais je ne sais pas comment déterminer ces deux sous espaces vectoriels
(j'ai cherché Kerf: f est un endomorphisme de E donc f(x)=oE implique x=oE donc Kerf=oE

par ailleurs je ne sais si ça peut aider mais j'ai trouvé que (1) est équivalente à
(f-aIdE)*(f-bIdE)

merci de votre aide,

Fred

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Re : espace vectoriel projecteur [Résolu]

Bonsoir Ann@,

  et joyeuses fêtes également à toi.

Tu as choisi la mauvaise caractérisation des projections. Je te rappelle qu'une application linéaire p est une projection si et seulement [tex]p\circ p=p[/tex] (cf http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … tion.html).

Si je calcule avec les définitions données, on a
[tex]p\circ p=l^2(f^2-2af+a^2 Id_E)=l^2\big((a+b)f-ab Id_E-2af+a^2 Id_E\big)[/tex]
où j'ai remplacé f^2 par 2(a+b)f+(ab)Id par hypothèse. En regroupant, on trouve

[tex]p\circ p=l^2(b-a)f-l^2 a(b-a)Id_E[/tex]
On souhaite que ceci soit égal à [tex]p=l f-la f[/tex].
C'est vrai si l=0 (mais ce cas n'est pas très intéressant, on trouve
l'endomorphisme nul) et aussi si [tex]l=\frac{1}{b-a}[/tex].

On fait de même pour q.

Par ailleurs, tu as confondu le mot "endomorphisme" et le mot "automorphisme" dans ce que tu as écrit après.
En effet, "endomorphisme" signifie simplement application linéaire, mais n'implique en aucun cas l'injectivité.
D'ailleurs, comme je l'ai écrit plus haut, l'application identiquement nulle est un endomorphisme.

Fred.

PS : Pour la suite, écris f comme combinaison linéaire de p et q, et remarque que l'hypothèse te donne poq=qop=0.

ann@

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Re : espace vectoriel projecteur [Résolu]

je vous remercie pour votre réponse qui m'ont permis de clarifier ces notions; bon réveillon ! ann@