Tétraèdre vs cube.

Bernard-maths · 21-12-2025 20:46:56

Bonsoir cailloux !

Ah ! Ces moments d'égarement ...

Mais on sait bien que tu peux servir à rendre service.

La descro ! En fin de 1ère, j'ai acheté les Lebossé Hémeri (?) et bossé la descro ... Manque de pot à la rentrée en math-élem, ce n'était plus au programme ! En math sup j'ai fait du dessin indus, c'est un peu de la descro déguisée ...

Et puis je n'ai plus pratiqué.

J'ai pas chiadé tes dessins, mais l'arête du tétraèdre n'est pas de 1.5 ... mais je vais y réfléchir ... un peu.

A plus donc, B-m

cailloux · 22-12-2025 15:59:36

Bonjour Bernard-maths,
Et heureux que tu ne sois pas trop fâché ...
J'étais "sans certitude" mais je suis maintenant certain de mon 1.5. C'est trop beau pour être faux.
J'ai ajouté un lien GeoGebra dans mon dernier message : peut-être permet-il de mieux comprendre mes élucubrations ? ...

Bernard-maths · 22-12-2025 17:08:35

Hello !

Mes dessins post #14 montrent une construction classique de tétraèdre maximum dans un cube ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (22-12-2025 17:08:59)

jpp · 23-12-2025 11:55:09

Salut à tous ;

Bien vu cailloux ;

j'ai voulu mettre une résolution et bam : micro coupure tout à refaire . Ici c'est régulier en ce moment .

cailloux · 23-12-2025 13:10:44

Bonjour jpp,
Je n'ai fait qu'exploiter l'association Descriptive/GeoGebra diablement efficace en la circonstance. Autrement dit : j'ai "constaté".
Il reste que mes figures sont un tantinet ésotériques pour le non initié (qui connaît encore les bases de la géométrie descriptive aujourd'hui ?) et n'ont pas convaincu grand monde. D'un autre côté, "voir" la figure dans l'espace n'a rien d'évident. Si je suis courageux, je tenterai une perspective avec le "trou" de section orthogonale carrée dans une bonne direction ...
Ton sujet mérite une autre solution : peut-être celle que tu avais commencée à poster. Je suis curieux ...

Dernière modification par cailloux (23-12-2025 13:19:33)

jpp · 23-12-2025 13:59:40

Salut ;

Au début on place le cube en équilibre sur une de ses arêtes puis on le fait basculer (voir figure vue de face) d'un angle [tex]\alpha[/tex] tel que
le plan horizontal passant par O : son centre coupe 4 arêtes du cube en 4 points A,B,C & D . Avec la bonne inclinaison [tex]\alpha [/tex], le rectangle ABCD
devient carré. Ce carré en rouge est d'ailleur la seule géométrie en vraie grandeur sur la vue de dessus.
Quand cette inclinaison donne un carré , alors AB = BC . En appliquant Pythagore
AB² = 2.(1 - x)² & BC² = BE² + EH² + HC² = 1 + 2x²
La racine x = 1/4 . Dans ce cas sur la vue de face , [tex]MN = \cfrac{\sqrt2}{8} et OM = \cfrac12 [/tex]
L'angle alpha vaut donc [tex]\arctan\cfrac{MN}{OM} = \arctan \cfrac{\sqrt2}{4} \approx 19°. 47122 [/tex] sauf erreur .
[tex] AB = BC = \sqrt{1 + 2x^2} = \sqrt\frac{9}{8} = \cfrac{3\sqrt2}{4}[/tex]

Et enfin l'arête a du tétraèdre régulier : [tex] a = \cfrac{3\sqrt2}{4} \times \sqrt2 = \cfrac{3}{2}[/tex]

Dernière modification par jpp (23-12-2025 14:06:42)

cailloux · 23-12-2025 15:30:17

Merci jpp pour ton retour que j'espérais. J'ai bien compris.
Un petit côté rassurant : ta vue de dessus et la partie magenta de ma dernière figure sont identiques à une similitude près.
Je pense tout de même qu'il est très difficile, pour un quidam qui découvre ce fil, de comprendre ce qui se passe à moins qu'il ait une vision de l'espace exceptionnelle.
Il reste que nous avons fait, toi comme moi, des présupposés : par exemple, on peut envisager le cas où le tétraèdre régulier a sa projection sur un plan orthogonal à l'axe du "tunnel" en forme de triangle isocèle. Bien sûr moins "bon".
Encore merci pour ton sujet qui m'a bien plu.
P.S. J'ai une nouvelle fois du mal à comprendre ce qui se passe avec le compteur de vues : un robot ?

Dernière modification par cailloux (23-12-2025 15:38:02)

Bernard-maths · 23-12-2025 15:55:26

Bonjour à tous !

jpp, je suis d'accord avec les calculs ... Mais je ne vois pas comment est tracé le tétraèdre régulier ???

B-m

cailloux · 23-12-2025 16:11:48

Bonjour,
Sur la vue de dessus de jpp, le tétraèdre régulier est représenté projeté sur un plan par le carré $ABCD$ et ses diagonales. Deux de ses arêtes opposées (les diagonales) sont vues en vraie grandeur.
Tu peux regarder tes perspectives de la page précédente et projeter ton tétraèdre sur un plan horizontal : c'est la même figure.

Bernard-maths · 23-12-2025 16:17:05

Hello !

Par contre je peux tracer un octaèdre régulier d'arête 1.06 !

Mais je ne vois pas le tétraèdre ... bigleux ?

Merci, B-m

Dernière modification par Bernard-maths (23-12-2025 16:17:50)

cailloux · 23-12-2025 16:25:15

Comme écrit plus haut, la figure dans l'espace est difficile à visualiser et il va falloir que je réalise une perspective édifiante (ça va être coton ...)
Plus aujourd'hui : je n'ai plus le temps. Demain peut-être ...

cailloux · 24-12-2025 15:41:28

Bonjour,
Quelques minuscules critiques relatives au message 31 de jpp :
On admet donc, ce qui n'a rien d'évident, que la section optimale du trou est un carré.
Le cube projeté sur un plan via deux rotations axiales détermine la direction de l'axe du trou par rapport au cube.
Il y a là un à priori que rien ne justifie. En toute circonstance, il existe toujours un carré inscrit dans le contour apparent du cube projeté.
Pour s'en convaincre, il suffit de jeter un œil au lien posté dans le message 25 et de "bouger" les points $H$ et $F$.
Voici par exemple une situation avec une autre direction de trou :

Il n'y a aucune divine raison pour privilégier la direction choisie par jpp.

Dernière modification par cailloux (24-12-2025 15:41:53)

Bernard-maths · 24-12-2025 18:11:05

Bonsoir à tous, et joyeux Noël autant que possible !!!

Là je ne vais pas faire de cadeau ... désolé.

Cailloux, je vois sur les milieux de deux arêtes opposées deux sommets du tétraèdre, donc l'arête mesure ... 1.4142 et non 1.5 ???

Par ailleurs, j''ai dans mes origamis un tétraèdre de 12 cm d'arête, alors j'ai fait un cube de 8 cm d'arête, car 12/8 = 1.5/1 ... impossible de faire entrer ce tétraèdre dans le cube ... sauf erreur de manipulation ...

Donc je reste septique sur le tétraèdre recherché dans l'énoncé ... jpp, d'où tiens tu cet énigme ?

Je revois la figure, où est le tétraèdre exactement, puisque là tu parle de trou ... ?

Bonne soirée à vous deux, et à plus !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (24-12-2025 18:39:46)

cailloux · 24-12-2025 18:53:59

Bonsoir,
Un hasard malencontreux a fait que deux sommets du carré semblent figurer aux milieux de deux arêtes du cube sur ma dernière figure.
Dans cette situation, on est effectivement pas très loin de $\sqrt{2}$ pour l'arête du tétraèdre.
Mais ce n'était qu'un exemple. En voici un autre où l'arête du tétraèdre est nettement supérieure à $\sqrt{2}$

Bon, je n'ai pas encore trouvé le courage de m'attaquer à la "perspective édifiante (coton)" mais je ne désarme pas ... :)

Bernard-maths · 24-12-2025 19:28:36

Bonsoir cailloux !

Là je vois deux sommets sur la même face du carré. L'arête est donc inférieure à 1.4142 ...

B-m

cailloux · 24-12-2025 23:06:29

Là, je me sens très seul ... et un peu désemparé.
Que dire si ce n'est que nous n'avons pas la même "vision" ?
En tout état de cause, reste le principal :
Joyeux Noël à toi ! :)

Bernard-maths · 24-12-2025 23:11:00

Le Père Noël est sapé en rouge, et il est passé aussi ...

B-m

cailloux · 25-12-2025 16:25:32

Bonjour,
Je savais que ça allait être une galère : je n'ai pas été déçu ...
Le pire est qu'en respectant certains canons de la perspective, la figure devient difficilement lisible.
Ainsi la section du "trou" bleu à gauche de la figure est un carré.
Malgré ses défauts je publie tout de même :

Joyeux Noël à tous !

Bernard-maths · 25-12-2025 18:23:45

Bonjour à tous, et joyeux Noël !

Merci à cailloux pour ce beau dessin ... que je vais essayer de décortiquer.

Ce que je n'arrive pas à voir, ce sont les positions sur le cube de droite, des 4 points du tétraèdre de gauche rouge ...

J'ai essayé des tas de calculs pour faire entrer un tétraèdre de 1.5 d'arête dans un cube de 1 d'arête ! Impossible de trouver ...

Prochaine étape, le jour de l'an !!!

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (25-12-2025 20:45:26)

cailloux · 26-12-2025 12:31:27

Bonjour,
Le tétraèdre n'est jamais contenu entièrement dans le cube. Comme indiqué dans l'énoncé, il ne fait que le traverser via un "trou".
Une nouvelle figure où sont indiqués par une flèche le sommet du tétraèdre et le sommet du cube qu'on peut modifier dans le lien en fin de message :

Cube et tétraèdre

Bernard-maths · 26-12-2025 16:20:00

Bonjour à tous !

Merci cailloux ...

Je réalise à l'instant qu'on ne veut pas inscrire le tétraèdre dans le cube, mais seulement le faire traverser !!!

ALORS maintenant ma question est : comment dessiner ce qui reste du cube, après passage du tétraèdre ???

B-m

Imod · 26-12-2025 18:01:54

Bonjour et joyeuses fêtes :)

Un classique dans le même esprit Cube du prince Rupert

Imod

cailloux · 26-12-2025 21:14:07

Bonsoir,
Ah! Je ne connaissais pas. En effet très similaire. Merci pour le lien et très bonnes fêtes ! :)

Bernard-maths · 27-12-2025 09:15:33

Bonjour à tous !

Oui il s'agit d'un problème très proche.

Par la même section carrée, on peut faire passer un cube, mais aussi tout ce qui est contenu dans le cube, un tétraèdre par exemple.

B-m

cailloux · 27-12-2025 13:46:38

Bonjour Bernard-maths,

Par la même section carrée, on peut faire passer un cube, mais aussi tout ce qui est contenu dans le cube, un tétraèdre par exemple.

Tu as la bonne "vision" ! :)
Quelques précisions (peut-être superflues) :
Les directions du "trou" sont, pour un cube $ABCDEFGH$ et le repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$, les vecteurs $\overrightarrow{u}(a,b,c)$ où il y a deux nombres 2 et un nombre 1 parmi $a,b,c$, l'un de ces nombres étant affecté ou non d'un signe "-". Par exemple $(2,1,2)$ ou $(-2,1,2)$.
Il y en a 12 : ce n'est plus de la géométrie mais du dénombrement.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#26 21-12-2025 20:46:56

Re : Tétraèdre vs cube.

#27 22-12-2025 15:59:36

Re : Tétraèdre vs cube.

#28 22-12-2025 17:08:35

Re : Tétraèdre vs cube.

#29 23-12-2025 11:55:09

Re : Tétraèdre vs cube.

#30 23-12-2025 13:10:44

Re : Tétraèdre vs cube.

#31 23-12-2025 13:59:40

Re : Tétraèdre vs cube.

#32 23-12-2025 15:30:17

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#33 23-12-2025 15:55:26

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#34 23-12-2025 16:11:48

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#35 23-12-2025 16:17:05

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#36 23-12-2025 16:25:15

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#38 24-12-2025 18:11:05

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#39 24-12-2025 18:53:59

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