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Sebastien90

Invité

Compactifié d'Alexandroff.

Bonjour à tous,

On sait que, [tex]\mathbb{N}[/tex] est localement compact ( Voir ici, https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2% … tification ). Son compactifié de Stone-Cech est l'ensemble des ultrafiltres de [tex]\beta \mathbb{N}[/tex] sur [tex]\mathbb{N}[/tex].

Quel est le compactifié d'Alexandroff de [tex]\mathbb{N}[/tex] ?

Merci d'avance.

Roro

Membre expert

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Messages : 1 801

Re : Compactifié d'Alexandroff.

Bonjour,

Je ne sais pas répondre à ta question mais en cherchant un peu : https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Fort

Roro.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Compactifié d'Alexandroff.

Bonjour,
Le compactifié d'Alexandrov de $\mathbb N$ (muni de la topologie discrète) est tout simplement $\mathbb N\cup\{\infty\}$, où les voisinages de $\infty$ sont les complémentaires de parties finies de $\mathbb N$.

Sebastien90

Invité

Re : Compactifié d'Alexandroff.

Merci beaucoup pour ton lien Roro.  :-)
Merci toi aussi Michel.
Michel,
Tu affirmes que [tex]\mathbb{N} \cup \{ \infty \}[/tex] est le compactifié d'Alexandroff de [tex]\mathbb{N}[/tex], mais, [tex]\mathbb{N} \cup \{ \infty \}[/tex] et  [tex]\mathbb{N} [/tex] sont en bijection. On peut les identifier. Ça veut dire que, [tex]\mathbb{N}[/tex] est le compactifié d'Alexandroff de [tex]\mathbb{N}[/tex] ? Si oui, cela impliquerait que [tex]\mathbb{N}[/tex] est compact, ce qui est absurde. Où est le hic ?
Merci d'avance.

DeGeer

Membre

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Messages : 222

Re : Compactifié d'Alexandroff.

Bonjour
La notion de bijection est une notion ensembliste. Or, la compacité est une notion topologique. Deux ensembles peuvent être en bijection sans avoir les mêmes propriétés topologiques. Par exemple, $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Q}$. Notamment, si la bijection n'est pas bicontinue.

Michel Coste

Membre Expert

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Messages : 1 464

Re : Compactifié d'Alexandroff.

$\mathbb N$ et son compactifié d'Alexandrov $\mathbb N\cup\{\infty\}$ dont j'ai décrit la topologie ne sont pas du tout le même espace topologique : la topologie de $\mathbb N$ est discrète tandis que celle de $\mathbb N\cup\{\infty\}$ ne l'est pas : je t'ai déjà écrit que les voisinages de $\infty$ sont les complémentaires de parties finies de $\mathbb N$.
Le compactifié d'Alexandrov de n'importe que espace localement compact $X$ s'obtient toujours en ajoutant un point $\infty$ à $X$ dont les voisinages ouverts sont les complémentaires de compacts de $X$.

Dernière modification par Michel Coste (07-04-2025 16:49:15)