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Marouantbl

Invité

Egalité de deux dimensions vs égalités des deux espaces

Salut ,
Deux espaces vectoriels de dimension finie sont isomorphes si et seulement si ils ont même dimension
Est ce que ca est vrai pour n'importe quels espaces vectoriels ??
Est ce que ce thm théorème reste juste malgré si ces deux espaces sont de natures différentes ,( par exemple l'un est un ensemble de polynômes , l'autre de fonctions ....)

Merci bcp

Dernière modification par yoshi (30-03-2025 09:32:21)

DeGeer

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Re : Egalité de deux dimensions vs égalités des deux espaces

Bonjour
Tant qu'ils sont définis sur le même corps, oui. Il suffit d'envoyer une base de l'un sur une base de l'autre.

Marouantbl

Invité

Re : Egalité de deux dimensions vs égalités des deux espaces

Qu'est ce que tu entends par envoyer une base de l'un sur une base de l'autre ???
Merci$

DeGeer

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Re : Egalité de deux dimensions vs égalités des deux espaces

Si $E$ et $F$ sont deux $\mathbb{K}-$espaces vectoriels de dimension finie $n \in \mathbb{N}^*$, avec $(e_1,...,e_n)$ une base de $E$, $(f_1,...,f_n)$ une base de $F$ alors l'application linéaire $\varphi : E \rightarrow F$ définie par $\varphi(e_i)=f_i$ pour $1\leq i \leq n$ est un isomorphisme puisqu'il transforme une base en une base.
Réciproquement si $E$ et $F$ sont isomorphes avec $\varphi : E \rightarrow F$ un isomorphisme et $(e_1,...,e_n)$ une base de $E$ alors $(\varphi(e_1),...,\varphi(e_n))$ est une base de $F$ car un isomorphisme transforme une base en une base. Or, le cardinal de cette famille étant $n$, la dimension de $F$ est également $n$. $E$ et $F$ ont la même dimension.