Un ensemble de points

Bernard-maths · 26-01-2025 17:30:14

Bonjour !

@Ernst : tu as fait ça comment (logiciel et formules ...) ?

Moi j'utilise une équation donnant la distance d'un point à un segment. On voit l'équation dans ce que j'ai envoyé ...

En fait 2 segments déterminent (en général) 9 zones potentielles dans le plan, non toutes utilisées ...

Et je ne trace que la courbe. A quoi correspondent exactement les zones colorées ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (26-01-2025 17:31:37)

Ernst · 26-01-2025 19:53:52

Bernard-maths a écrit :

tu as fait ça comment (logiciel et formules ...) ?[...]A quoi correspondent exactement les zones colorées ?

Hello Bernard-maths,

En fait je fais ça en html+css pour la mise en forme dans un navigateur, et en javascript encapsulé pour les calculs.

Le programme javascript évalue la distance d’un point choisi au hasard sur le canvas (le cadre graphique) à un segment en projetant perpendiculairement ce point sur la droite qui sous-tend ce segment (vecteur directeur, produit scalaire normalisé tout ça) et garde soit le projeté s’il est sur le segment, soit une extrémité s’il est en dehors, puis calcule la distance entre ces deux points. Chaque segment ayant une couleur, ce point prend la couleur de ce segment. Pour le même point d’écran on balaye tous les segments et on remplace la couleur si on trouve plus court. Résultat, la couleur représente celle du segment le plus proche. Le code ne s’occupe jamais de l’équation des frontières ou de choses comme ça.

Et puisqu’avec l’aimantation une extrémité peut être commune à plusieurs segments, on peut donc avoir des zones dans lesquelles se mélangent les couleurs. Bref, quand je parlais de Voronoï c'est la version étendue, qui détermine sur un plan l'ensemble des points les plus proches d'un segment plutôt que d'un germe ponctuel.

Bernard-maths · 26-01-2025 21:04:22

Hello Ernst !

Merci pour tes explications. C'est joli à voir ... mais on change de problème en passant à plus de 2 segments.

ça reste intéressant ! C'est du même genre de ce qu'a proposé Wiwaxia.

N'ayant pas "la courbe", il faut la déterminer ... assez facile, sauf avec plus de 2 segments.

Je ne pratique pas du tout les logiciels-programmes cités, je reste avec GeoGebra et Maple, plus les gadgets courants. je ne programme plus, pourtant j'en ai fait !

De plus il ne semble pas possible, tel quel, de passer en 3D ?

Donc je continue sur mes équations, et les explications détaillées qui vont avec !

@ plus donc, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (28-01-2025 18:46:55)

Rescassol · 26-01-2025 21:40:42

Bonsoir,

Voilà un programme Python donnant une figure:

###################################################################

# Un ensemble de points - Bernard-Maths - 11 Janvier 2025

###################################################################

###################################################################

# Importations

###################################################################

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import matplotlib.patches as mpatches

###################################################################

def maxfig():

    mng = plt.get_current_fig_manager()

    mng.resize(*mng.window.maxsize())

    mng.window.state('zoomed')

###################################################################

def DistancePointSegment(x,y,xA,yA,xB,yB):

    ps=(x-xA)*(xB-xA)+(y-yA)*(yB-yA)

    D2=(xB-xA)**2+(yB-yA)**2

    if ps>D2:

        return (x-xB)**2+(y-yB)**2

    if ps<0:

        return (x-xA)**2+(y-yA)**2

    else:

        a, b, c = yB-yA, xA-xB, xB*yA-xA*yB

        return abs(a*x+b*y+c)**2/D2

###################################################################

N=50000

xA, yA = np.random.random(), np.random.random()

xB, yB = np.random.random(), np.random.random()

xC, yC = np.random.random(), np.random.random()

xD, yD = np.random.random(), np.random.random()

plt.close()

fig=plt.figure(linewidth=10,facecolor = 'gold',edgecolor='red')

plt.axis('equal')

plt.title('Ensemble de points', color='darkviolet', fontsize=40, fontname='Comic Sans MS', fontweight='bold')

for k in range(N):

    x, y = np.random.random(), np.random.random()

    Dist1=DistancePointSegment(x,y,xA,yA,xB,yB)

    Dist2=DistancePointSegment(x,y,xC,yC,xD,yD)

    if Dist1<Dist2:

        plt.plot(x,y,'.c')

    else:

        plt.plot(x,y,'.m')

plt.plot([xA, xB],[yA, yB],'b',linewidth=5)

plt.plot([xC, xD],[yC, yD],'r',linewidth=5)

maxfig()

plt.show()

Cordialement,
Rescassol

Ernst · 27-01-2025 00:04:48

Bernard-maths a écrit :

De plus il ne semble pas possible, tel quel, de passer en 3D ?

Hello Bernard-maths,

3D c’est possible, suffit de rajouter une troisième coordonnée aux segments et choisir des points dans un cube plutôt que sur un carré, la distance est de toute façon ramenée à une droite et un point donc on sait faire, non, c’est la projection sur l’écran qui pose problème…

1) déplacement et rotation des segments en 3D, il suffit de voir les programmes de conception assistée par ordinateur pour voir que c’est possible mais c’est lourd

2) représentation de volumes pleins c’est quasiment impossible même avec un effet de transparence et d’atténuation avec la distance…

3) représentation des interfaces c’est compliqué parce que là il faut les calculer – ou au moins les représenter – et comme c’est un assemblage de surfaces courbes on ne va rien y comprendre à moins de faire des coupes mobiles et des rotations, faisable bien sûr (je pense aux vidéos explicatives de ce genre de choses) mais là c’est sans moi.

Par contre pour mieux comprendre la logique de ma page je l’ai un peu améliorée, selon la distance la couleur se fonce, cela permet aussi de retrouver en les devinant les segments initiaux alors qu’avant la surface unie l’empêchait.

Bernard-maths · 04-02-2025 15:51:17

Bonjour à tous !

J'avance doucement dans les équations ...

Voici une représentation des points équidistants des 2 segments [AB] et [CD], sur laquelle on peut voir les différents types de courbes parcourues par l'ensemble des solutions :

En vert les bissectrices de (AB) et (CD), en bleu les médiatrices de [AC], [AD], [BC] et [BD], en orange les paraboles (A,(CD)), (B,(CD)), (C, (AB)) et (D,(AB). En mauve les points d'intersections de différentes droites, marquant les changements de courbes ... En rouge l'ensemble des solutions !

@+, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (05-02-2025 09:50:26)

Bernard-maths · 05-02-2025 11:37:19

Bonjour à tous !

Je cherche aussi comment hachurer des zones ... avec Maple :

La partie centrale me paraît louche ...?

L'octaèdre arrondi ???

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (05-02-2025 11:51:34)

Bernard-maths · 07-02-2025 15:23:44

Bonjour à tous !

Pour en revenir au début, voici 2 ex vus, et traités avec des équations sur GeoGebra et Maple :

On peut voir les différnces de tracés, et les défauts de chaque logiciel ! Maple rajoute des axes ... GeoGebra ne trace pas de surface ...

Il me reste à passer en 3D ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (07-02-2025 15:25:34)

Bernard-maths · 10-02-2025 11:30:20

Bonjour à tous les absents !

Voici un résultat en 3D. Pas avec 2 segments, mais avec 2 droites (AB) et (CD) orthogonales et symétriques par rapport à Origine.

Cette surface est celle des points équidistants des 2 droites.

S'agit-il d'un "paraboloïde parabolique" ??? Que je ne connais pas. J'y vois des paraboles par vues de profils, pas d'hyperboles ...?.
Et qui semble engendrée par une droite, donc surface "rectifiable" (le nom m'échappe !)

Hum, je crois que c'est "réglée" ou "règlée" ??? Qui paye ...?

Le point noir est O, les droites passent par P(-2,0,0) et Q(2,0,0).

Bernard-maths

PS : si vous voulez le programme ... je peux livrer !

Dernière modification par Bernard-maths (10-02-2025 13:37:16)

Michel Coste · 10-02-2025 14:58:48

Bonjour,
C'est bien le paraboloîde hyperbolique d'équation $x=\dfrac{y^2-z^2}4$. On voit les hyperboles en coupant à $x$ constant.

cailloux · 10-02-2025 15:14:20

Bonjour,
Avec :

les droites passent par P(-2,0,0) et Q(2,0,0).

j'avais obtenu $x=\dfrac{y^2-z^2}{8}$
Les hyperboles sections à $x$ constant sont équilatères.

Dernière modification par cailloux (10-02-2025 15:19:22)

Bernard-maths · 10-02-2025 17:36:11

Effectivement, c'est bien beau ! Merci !

On voit, pour x = -2, l'hyperbole équilatère en haut et en bas. Mais à gauche et à droite, ça ressemble à des paraboles ...

B-m

Remarque : la section pour x = 0 donne 2 droites perpendiculaires ... qui sont en projection les asymptotes ?

Dernière modification par Bernard-maths (10-02-2025 17:57:49)

Michel Coste · 10-02-2025 18:17:55

Oui, $x=\dfrac{y^2-z^2}8$. Un facteur 2 est passé à la trappe sur mon brouillon-torchon.

cailloux · 13-02-2025 00:18:58

Bonjour,
Une figure issue de la géométrie descriptive pour la construction de l'hyperbole section du paraboloïde hyperbolique par un plan parallèle à $yOz$ :

Et un lien où le plan est modifiable ainsi que le point courant de l'hyperbole :
Section
[Edit] En passant on a une génération des hyperboles équilatères à partir de deux points. Je n'ai pas la prétention de la croire inédite :

Hyperbole équilatère

Dernière modification par cailloux (13-02-2025 15:33:30)

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