Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Weg

Membre

Inscription : 16-11-2024

Messages : 12

[proba] estimateur moyenne et variance.

prenons $X \sim \mathcal{N}\left(μ; σ^2\right)$

On peut estimer $μ$ grâce à $\overline{x}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$ et $σ$ grâce à $s_n^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - μ\right)^2$ ou ${s^*}_n^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \overline{x}_n\right)^2$ selon que $μ$ est connue ou non.

On peut ensuite trouver leurs intervalles de confiance car on a $\overline{x}_n \sim \mathcal{N}\left(μ; \frac{σ^2}{n}\right)$ ou $\sqrt{n}\frac{\overline{x}_n - μ}{{s^*}_n} \sim \mathcal{T}_{n-1}$ selon que $σ$ est connue ou non, et $\frac{n}{σ^2}s_n^2 \sim \mathcal{X}_n^2$ et $\frac{n-1}{σ^2}{s^*}_n^2 \sim \mathcal{X}_{n-1}^2$.

Jusque là très bien, on trouve ça dans tous les bouquins.

Maintenant, prenons $X \sim \mathcal{L}$, avec $\mathcal{L}$ une loi quelconque d’espérance $μ$ et de variance $σ^2$. En vertu du TCL, les résultats précédents sont toujours valables sous réserve que $n$, la taille de l’échantillon, soit suffisamment grand. Jusque-là, j’ai toujours bon? C’est évident pour l’espérance, je suis moins sûr pour la variance.

Ok. Maintenant ça veut dire quoi «$n$ suffisamment grand»? Généralement on parle d’au moins une trentaine, mais pourquoi? Ou plutôt à quelle approximation ça correspond? Ça me semble avoir peu de sens de se donner un intervalle de confiance si la précision de ses bornes n’est pas connue. Existe-t-il une méthode pour déterminer la précision (ou un majorant de cette précision) en fonction de $n$?

Merci d’avance.

Dernière modification par Weg (05-01-2025 22:46:07)

winston2968

Invité

Re : [proba] estimateur moyenne et variance.

Bonjour,

Bienvenu dans les probabilités ! Dans tous les cours que j'ai eu en licence la notion de "suffisamment grand" n'était pas définie formellement.
En général, cela dépend de la taille de ton échantillon et du contexte.

A partir de la formule d'un intervalle de confiance, tu peux déterminer la taille de ton échantillon mais ça n'a pas l'air d'être ce que tu cherches.

Je dirai que c'est en fonction du contexte. Pour des données sensibles (médicales, architecture, etc...) tu essaiera de prendre un $n$ très grand pour être sûr de ton résultat, en revanche, pour estimer quelque chose de moins sensible un $n$ plus faible ne sera problématique.

Bonne Journée