Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Borassus

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Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonjour yoshi,

Pour expliciter ma pensée, tu rejoins probablement ce que j'ai voulu dire : pour beaucoup trop, un chapitre de maths se résume à apprendre quelques formules par cœur, et le(s) manuels assimilés à un (ou plusieurs) livre(s) de recettes de cuisine, pardon, de formules...

J'ai eu l'année dernière un élève de Terminale suffisant — je dirais "puantissime" — qui, lorsque je tentais de lui expliquer la logique d'une formule — me répondait « Cela ne m'intérese pas ! Je veux juste connaître les recettes. » Il a eu son 20 en maths. Bon débarras !

en amont de la formule, il y a un raisonnement, qui s'il est compris, peut faciliter l'emploi de la formule, rend capable de la retrouver si besoin est

Oui !!! Je dis à mes élèves « On vous gave de formules comme on gave des oies du Périgord ! Comprenez la logique des formules, en français simple, non mathématique, compréhensible par "une Madame Michu" (ou par "un Monsieur Michu", ne soyons pas sexistes :-), mais n'apprenez pas les formules ! Personnellement, je me refuse à encombrer la mémoire de formules que je peux retrouver en quelques secondes ! »

(tiens, au passage, Bridgslam, je ne connaissais pas le mot "Intégrande")

Je ne connaissais pas non plus. Je retiens l'expression car elle a du sens.

27 / 2 = 13,5

C'est quoi 0,5 d'élève ?  :-)

que feraient 60 % des élèves de Tle avec spé maths, sans leur calculatrice ?

Il leur faut presque la calculatrice pour calculer 3 fois 2 (ou 2 fois 3).
J'essaie aussi de faire comprendre les ordres de grandeurs et les fractions : 2 plus 2 tiers est plus compréhensible que 2,66666...

Bon, nous en Math Elem, on utilisait un succédané : les Tables de valeurs numériques Laborde que j'ai conservées soigneusement...

Je conserve pour ma part précieusement ma règle à calcul Aristo, même si je ne m'en sers jamais.

Il me semble logique de ne pas développer de façon un peu "fantaisiste" : le premier terme étant [tex]a[/tex], il me semble logique en effet de commencer par [tex]a^3[/tex] et de donner les termes suivants selon les puissances décroissantes de a, qui sont les puissances croissantes de b.

Oui !!! [tex]a + b[/tex] signifie qu'il y a d'abord [tex]a[/tex] auquel on ajoute [tex]b[/tex] (voir mon exemple avec 100 € + 5 €, et 5 € + 100 €). Il est donc logique que [tex]a[/tex] soit prioritaire, et que le développement commence par [tex]a^3[/tex].

là encore des calculatrices maintenant sont en capacité d'effectuer du calcul formel

Le calcul formel montre de beaux exemples de calcul automatique sans aucune logique. Je me suis amusé à poser sur Xcas [tex](a + b + c + d + e)^4[/tex]. Le résultat est assez merveilleux.

Je me demande si le passage des 9 h hebdomadaires de Maths aux 5 h 30 actuels n'a pas été dicté par une volonté d'économie : on ne peut pas faire tenir le contenu de 9 h en 5 h 30, on commence par supprimer des pans de programme et ainsi on peut ne plus attribuer que 5 h 30.

Peut-être. La supposition peut être considérée comme pertinente.  :-)

Borassus, puisque tu as vécu l'épisode des "Maths modernes", te souviens-tu qu'en 4e les élèves avaient au programme les... Barycentres ?

Oui, tout à fait. Ils avaient beaucoup de mal à comprendre qu'un barycentre est un point d'équilibre.

@+

DrStone

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Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonjour.

Pour expliciter ma pensée, tu rejoins probablement ce que j'ai voulu dire : pour beaucoup trop, un chapitre de maths se résume à apprendre quelques formules par cœur, et le(s) manuels assimilés à un (ou plusieurs) livre(s) de recettes de cuisine, pardon, de formules...

C'est ce que j'écrivais plus haut : «pour en arriver au point où, aujourd'hui, il n'y a plus de mathématiques à l'École. Tout au plus on y trouve de la vulgarisation (mal réalisée) de l'idée que se font les profanes des mathématiques.»

Pour l'être humain lambda, les mathématiques ça se résume (et c'est somme tout bien normal) à une série de formules à connaître ou non selon le degré d'utilité dans le prochain devoir : le périmètre d'un rectangle, l'aire d'un cercle, la conversion des litres en centimètres cubes ; parfois certains se souviennent que $\Delta=\frac{b^2}{-4ac}$ mais ne sauraient pas te dire ce que c'est, à quoi ça correspond ni ce que ça fait là : c'est comme ça "il existe un truc qu'on nomme delta et qui vaut $\frac{b^2}{-4ac}$" et puis c'est tout.

D'un autre côté, j'ai lu il y a quelques années les livres de votre époque (les fameux Lebossé-Hémery, Monge-Guinchan, cours Maillard) et il faut reconnaître qu'au collège (et même un peu au lycée — même si tout était au lycée à cette époque), hormis quelques passages de géométrie, l'accent n'était pas forcément mis sur la compréhension : ça tombait un peu comme un cheveu sur la soupe.
Pour revenir sur l'exemple (à la fois simple et symptomatique) des identités usuelles on avait (et on a encore aujourd'hui) presqu'instantanément $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ tandis qu'à mon époque le développement était complet
\[
\begin{align}
(a+b)^2 & = (a+b)(a+b) & \text{par définition} \\
             & = a(a+b)+b(a+b) & \text{la multiplication est distributive par rapport à l'addition} \\
             & = (a^2+ab)+(ba+b^2) & \text{la multiplication est distributive par rapport à l'addition} \\
             & =a^2+(ab+ba)+b^2 & \text{l'addition est associative} \\
             & =  a^2+(ab+ab)+b^2 & \text{l'addition est commutative} \\
             & =  a^2+2ab+b^2 \\
\end{align}
\]
Le seul moyen de réussir à faire un exercice sur une autre identité usuelle était alors d'avoir une compréhension des objets utilisés ; autrement dit : comprendre la logique qui se cache derrière. C'est sûrement la raison qui a poussé à créer et enseigner les mathématiques modernes (pas si modernes que cela), d'ailleurs.

Edit:

Néanmoins, une fois cet exercice assimilé et compris ; le passage en degré trois se fait aisément et de la même manière en posant $(a+b)^3=(a+b)(a+b)^2$ : on connait alors déjà le développement de $(a+b)^2$ qu'on remplace, on applique les mêmes raisonnements avec les mêmes commentaires (en tout cas, ceux-ci étaient importants pour mes professeurs qui les demandaient à chaque fois) et roulez jeunesse.

——

J'imagine cependant que la différence entre votre époque et aujourd'hui venait d'une part des professeurs eux-mêmes (qui étaient initialement formés avec des programmes plus ambitieux et cohérents) ainsi que des élèves qui étaient sûrement plus volontaires et moins distraits. Après, peut-on en vouloir aux élèves d'aujourd'hui de se dire que ça ne sert à rien ? Sachant qu'à la grande différence de nos époques, l'ascenseur social n'existe plus et ce n'est pas le fait d'aller à l'école qui les fera sortir de leur misère…

Edit:

tu as vécu l'épisode des "Maths modernes", te souviens-tu qu'en 4e les élèves avaient au programme les... Barycentres ?

Comme tu en parles, je donne mon point de vue d'élève de cette époque. Les barycentres étaient "faciles" à utiliser mais conceptuellement (tangiblement devrais-je plutôt dire) ça nous passait au-dessus. Aussi bien moi que la plupart de mes camarades, nous n'avions réussi à avoir une première compréhension conceptuelle de ceux-ci qu'en première ; bien aidé par la physique.

Aucun réel souci sur le plan théorique, bien entendu. Mais à nouveau, niveau conceptuel, les programmes de quatrième et troisième ont loupé le coche sur certaines notions et les barycentres en faisaient partie.

Dernière modification par DrStone (12-01-2024 14:08:22)

Borassus

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Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Comprenez la logique des formules

J'ai pu largement observer que les élèves filles — que j'ai en majorité — sont beaucoup plus sensibles à la compréhension de la logique que les élèves garçons, qui se contentent souvent d'une compréhension de surface.

Lorsqu'elles comprennent la logique d'une notion ou d'une formule, elles disent « C'est logique ; c'est simple ! » ou « C'est logique ; c'est facile ! »

C'est sans doute pour cela qu'elles braquent si souvent face aux maths : elles ressentent plus ou moins consciemment le manque de logique dans ce qu'on leur enseigne.
J'ai plusieurs fois entendu des filles me dire d'emblée « Ce n'est pas logique ! Je ne comprends pas ! »

bridgslam

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Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonjour,

[EDIT]
Je rejoins Bernard-Maths. Cette notation me dérange aussi...
Dans le cas de translation de vecteur $\overrightarrow{V}(a,b,c)$ le translaté de $M (x_M, y_M,z_M)$ étant par définition le point $N(x_N, y_N,z_N)$ tel que $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{V}$, il aisé de déduire que $(x_N-x_M, y_N-y_M,z_N-z_M)=(a,b,c)$
et de là :
$\begin{cases}y_N&=a+x_M\\
y_N&=b+y_M\\
z_N&=c+z_M
\end{cases}$
alors en quoi, la notation nouvelle (pour moi) présentée est-elle un progrès par rapport à ce que j'ai fait ci-dessus ?

OK mais dès que vous invoquez les coordonnées d'un point de l'espace affine, vous êtes implicitement déjà sur l'espace vectoriel associé.
Les coordonnées en question ne sont pas une notion intrinsèque, et en plus dépendent conjointement d'un point annexe et d'une base
(repère affine).
Pour les férus de géométrie, une présentation dans le bouquin de Pierre Martin pour introduire la géométrie affine sous des angles variables (équivalents
à quelques deltas près qui sont bien précisés) montre que ce n'est pas une notion indépendante d'une action du groupe vectoriel sur l'ensemble.
Il faut bien dire à moment donné ce qu'est une translation en précisant donc les axiomes (existence, unicité), il est impossible de parler de coordonnées de point avant cette étape cruciale (et que dire des coordonnées d'ailleurs si l'espace vectoriel n'est pas de dimension finie?).
On peut choisir ensuite les notations que l'on préfère.

Alain

bridgslam

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Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonjour,

Les deux fonctions [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] en question sont définies par [tex]f(x) = e^x[/tex] et [tex]g(x) = -e^{-x - 1}[/tex].

En me rendant compte de la symétrie de ces deux fonctions par rapport au point [tex](-\frac{1}{2} , 0)[/tex], j'ai expliqué à mon élève comment vérifier que deux fonctions sont symétriques par rapport à un centre présumé [tex]C(\alpha, \beta)[/tex].

Bonne journée également.
B.

ok je vois, avec un peu d'habitude, une translation selon l'axe des x donne une fonction impaire était une façon de voir aussi.
Intéressant.

Avec une fonction impaire présentant plusieurs points d'inflexions (changements de concavité) la propriété peut concerner plusieurs points et leurs tangente pour une même fonction f (f=g).
Exemple f:  x -> x  + xcos x (on élargit les oscillations ...pour obtenir plusieurs tangentes passant par O).

On en déduit la floppée d'exercices paramétrés:

soit $ f :  x \mapsto x + xcos x $ et $g_m : x \mapsto (x+m)(1 + cos(x+m))$ , $m \in \mathbb{R}$

Déterminer en fonction de m toutes les paires de points possédant une tangente commune pour $f$ et $g_m$

A.

Dernière modification par bridgslam (13-01-2024 16:08:31)

Borassus

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Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Bonjour,

[...]

Avec une fonction impaire présentant plusieurs points d'inflexions (changements de concavité) la propriété peut concerner plusieurs points et leurs tangente pour une même fonction f (f=g).
Exemple f:  x -> x  + xcos x (on élargit les oscillations ...pour obtenir plusieurs tangentes passant par O).

On en déduit la floppée d'exercices paramétrés:

soit $ f :  x \mapsto x + xcos x $ et $g_m : x \mapsto (x+m)(1 + cos(x+m))$ , $m \in \mathbb{R}$

Déterminer en fonction de m toutes les paires de points possédant une tangente commune pour $f$ et $g_m$

A.

Whouf ! J'essaie dans un premier temps de comprendre visuellement dans GeoGebra en faisant varier le curseur $m$.

En tout cas, je retiens le procédé pour expliquer la signification graphique de translation horizontale d'une fonction de structure $f(x -\alpha)$.

Borassus

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Re : Coordonnées d'un point/espace affine8

Pour en revenir au sujet initial de la notation de Grassmann, je l'ai testée aujourd'hui auprès de deux élèves de Terminale en précisant qu'il s'agit d'une notation interdite au lycée, qu'elle fait l'objet d'un débat savant sur Bibm@th, qu'elle doit être comprise par rapport aux seules coordonnées, et qu'il faut la prendre comme une aide lorsqu'un énoncé contient beaucoup de points car elle limite le risque d'erreurs.

Dans les deux cas la notation a été immédiatement comprise comme étant une notation très claire.