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Ginger40

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Une preuve du petit théorème de Fermat

Bonsoir,

Je faisais un exercice d'oral dont voici l'énoncé ;
Soient $a$ et $k$ deux entiers supérieurs ou égaux à $2$.

1. Montrer que, si $a^k+1$ est premier, alors $k$ est pair.
2. Montrer que, si $a^k+1$ est premier, alors $k$ est une puissance de $2$.
3. Soient $p$ un nombre premier et $a$ un entier relatif. Démontrer que :
$$
a^p\mod a [p]
$$

Les 2 premières questions sont assez classiques, je les ai résolues en utilisant l'identité $a^n - b^n = (a-b)\sum_{i=0}^{n-1}(a^{n-1-i}b^{i})$.
Par contraposée, si $k$ est impair alors :
$$
a^k + 1 = a^k - (-1)^k = (a-(-1))\sum_{i=0}^{k-1}a^i (-1)^{k-1+i} = (a+1)\sum_{i=0}^{k-1} (-a)^i \text{ car $k-1$ pair}
$$
Et en notant que $a \geq 2$ et $k\geq 2$ impair implique que $\sum_{i=0}^{k-1} (-a)^i \geq 2$, on obtient bien $a^k+1$ n'est pas premier.

Pour la deuxième question on peut écrire $k = 2^{\alpha_0}\prod_{i=0}^Np_i^{\alpha_i}$ et obtenir :
$$
a^k +1 = (a^{2^{\alpha_0}})^{\prod_{i=0}^Np_i^{\alpha_i}} +1
$$
Donc si ${\prod_{i=0}^Np_i^{\alpha_i}} \neq 1$ on a que $a^k+1$ n'est pas premier comme à la question 2.

Le problème vient à la question 3. En soit, c'est le petit théorème de Fermat dont il existe pas mal de preuves déjà. Mais comme cet exercice vient d'un oral de concours, je me dis qu'il faut utiliser les 2 questions d'avant pour conclure. Déjà je suis parti sur l'utilisation de la contraposée des questions 1. et 2. étant donné que je ne vois pas comment l'info $k$ puissance de $2$ pourrait aider à conclure. De plus, je connais la formulation équivalente :
$$
a^{p-1} \mod 1 [p]
$$
qui peut toujours servir.
J'ai essayé différentes pistes comme :
$$
a^{p-1} - 1 = (a^\frac{p-1}{2} -1 )(a^\frac{p-1}{2}+1)
$$
Ou plus généralement en notant $p-1= 2^{\alpha_0}\prod_{i=0}^Np_i^{\alpha_i}$ (on sait que $\alpha_0 \geq 1$ car on suppose $p\geq 3$, le cas $2$ étant faisable à la main par parité) écrire
$$
a^{p-1} - 1 = (a^{2^{\gamma_0}\prod_{i=0}^Np_i^{\gamma_i}} +1)\sum_{i=0}^{2^{\beta_0}\prod_{j=0}^Np_j^{\beta_j}-1} (-a^{2^{\gamma_0}\prod_{j=0}^Np_j^{\gamma_j}})^i \qquad \text{en prenant $\beta_i + \gamma_i = \alpha_i$}
$$
Le but étant de trouver des infos étant donné que $a^{2^{\gamma_0}\prod_{i=0}^Np_i^{\gamma_i}} +1$ n'est pas premier d'après les premières questions. J'ai pensé à du comptage de diviseurs premiers, mais comme $a$ et $p-1$ sont indépendants on ne pourra pas avoir plus d'infos que ça.

Je commence à sécher un peu, donc si quelqu'un a des indications je suis preneur, merci !

Ginger40

Dernière modification par Ginger40 (22-11-2022 09:20:54)