Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Junior ste

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Espace réflexif propriétés

Salut.
Svp j'aimerais démontrer que E est réflexif et séparable ssi son dual est réflexif et separable

Glozi

Invité

Re : Espace réflexif propriétés

Bonjour,
Est-ce que tu pourrais nous dire les théorèmes/propositions que tu as à ta disposition pour voir de quels outils tu disposes ?
Je pense que dans tous les cas, une étape importante sera de montrer le lemme suivant :
$\textbf{Lemme 1 : }$ Soit $E$ un espace de Banach, si $E'$ (le dual) est séparable alors $E$ est séparable.

(attention : ici $E'$ est muni de la topologie forte associée à la topologie sur $E$, ie si $f\in E'$ alors $\Vert f\Vert_{E'}$ désigne la norme d'opérateur de $f$ par rapport à la norme de $E$).

Une idée pour faire la preuve de ce lemme est de prendre $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une famille dense dans $E'$ (pour la norme d'opérateur). Pour chaque $f_n$ on peut trouver un $x_n\in E$ de norme $1$ (pour la norme de $E$) tel que $f_n(x_n)\geq \frac{1}{2}\Vert{f_n}\Vert_{E'}$. Alors, il me semble bien que la suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ (ou sinon le $mathbb{Q}$-espace vectoriel engendré par les $x_n$) est dense dans $E$ (utiliser le théorème de Hahn Banach).

Bonne journée

Junior ste

Membre

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Re : Espace réflexif propriétés

Salut
Ce raisonnement est celle utilisé depuis la nuit des temps pour le sens $E^*$ separable alors $E$ separable.
Mais mon souci est au niveau du sens retour et de l'équivalence de la <<réflexivité>>.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

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Re : Espace réflexif propriétés

Bonjour,

Salut
Ce raisonnement est celle utilisé depuis la nuit des temps

Je trouve ta remarque pas sympa pour Glozi qui prend la peine de te répondre alors que tu n'avais pas du tout précisé ce que tu voulais.

F.

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

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Re : Espace réflexif propriétés

Bonjour,

Bonjour,

Je trouve ta remarque pas sympa pour Glozi qui prend la peine de te répondre alors que tu n'avais pas du tout précisé ce que tu voulais.

F.

Avis pleinement partagé ! d'autant que les interventions de Glozi sont toujours de qualité

Junior ste

Membre

Inscription : 03-11-2021

Messages : 93

Re : Espace réflexif propriétés

Salut
C'est juste une manière de parler....sinon je suis vraiment désolée les gars....

Bonjour,

Bonjour,

Je trouve ta remarque pas sympa pour Glozi qui prend la peine de te répondre alors que tu n'avais pas du tout précisé ce que tu voulais.

F.

Avis pleinement partagé ! d'autant que les interventions de Glozi sont toujours de qualité

Glozi

Invité

Re : Espace réflexif propriétés

Je ne pense pas que c'était "méchant",
Si c'est la réflexivité qui t'intéresses, je pense que les deux théorèmes suivants peuvent t'intéresser :
$\textbf{Théorème (Banach Alaoglu) : }$ Soit $E$ un Banach, alors $B_{E^*}$ la boule unité fermée de $E^*$ est compacte pour la topologie faible-$*$.
$\textbf{Théorème (Kakutani) : }$ Soit $E$ un Banach, alors $E$ est réflexif si et seulement si $B_E$ sa boule unité fermée est compacte pour la topologie faible.

Vu que tu n'as pas dis quels sont les théorèmes que tu connais, je ne sais pas si ça te parle.

Les deux théorèmes te permettent tout de suite d'avoir $E$ réflexif $\implies$ $E^*$ réflexif.
Pour l'autre sens de la réflexivité, il y a un petit argument en plus.

Pour l'autre sens de la séparabilité, le lemme de la nuit des temps est quand même utile, mais il faut penser à utiliser la réflexivité.

Bonne journée