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Junior ste

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L'espace des matrices symétrique

Salut.
Je cherche à montrer que $S_{n}$$(\mathbb{R})$ est une sous variété de $M_{n}$$(\mathbb{R})$ dont on précisera la dimension.
On a$S_{n}$$(\mathbb{R})$={A$\in$$M_{n}$$(\mathbb{R})$| transposée (A) = A }.
Telle que l'ensemble est définir j'ai procédé avec la définition par la submersion mais je ne parviens à conclure que la différentielle en tout point de l'ouvert est surjective..... Vos différentes surjections sont attendues...merci

Glozi

Invité

Re : L'espace des matrices symétrique

Bonjour,

Méthode 1 (peu naturelle à mon avis avec une submersion) :
considérer $f : M_n(\mathbb{R}) \to A_n(\mathbb{R}), A \mapsto A - A^T$.
Avec $A_n(\mathbb{R})$ l'espace vectoriel des matrices antisymétriques. Remarquer que $f$ est linéaire donc sa différentielle n'est pas trop compliquée...

Méthode 2 (des espaces vectoriels c'est plat non ?):
$S_n(\mathbb{R})$ est un sous espace vectoriel de $M_n(\mathbb{R})$, ça ne doit pas être trop dur de voir qu'un sous espace vectoriel est une sous variété de l'espace vectoriel de base (en dimension finie). On parle quand même d'espaces vectoriels il n'y a pas plus plat !

Bonne journée

Junior ste

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Re : L'espace des matrices symétrique

Salut.
Merci beaucoup j'ai vu☺️☺️