Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Muniaiiiam

Invité

Intégrale d'une fonction

La fonction sin(x)/x admet un prolongement par continuité en 0 , Donc est-ce qu'il est intégrable sur [0,1] , si oui , comment peut-on calculer l'intégrale de cette fonction sur [0,1] ?

Glozi

Invité

Re : Intégrale d'une fonction

Bonjour,

Une fonction continue sur un \textbf{segment} $[a,b]$ y est intégrable. Donc oui le prolongement en $0$ de $x\mapsto \sin(x)/x$ est intégrable sur $[0,1]$. Après il n'y a pas de primitive "simple" de $x\mapsto \sin(x)/x$. Quand tu intègres de $0$ à $\infty$ tu obtiens une intégrale semi-convergente qui vaut $\pi/2$. Mais sinon je ne sais pas quand tu intègres de $0$ à $1$.

Bonne journée

Muniaiiiam

Invité

Re : Intégrale d'une fonction

Mais s'il te plaît, pouvez vous nous donner plus d'explications sur ce que signifie "primitive simple" ?
Merci beaucoup

Black Jack

Membre

Inscription : 15-12-2017

Messages : 509

Re : Intégrale d'une fonction

Bonjour,

Une primitive de sin(x)/x ne peut pas être exprimée par des combinaisons en nombre fini de fonctions élémentaires.

Mais on peut en donner une primitive contenant un nombre infini de fonctions élémentaires.

Par exemple si on utilise le développement en série infinie de sin(x), soit :

$sin(x) = x -\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} + ... + (-1)^{n+1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + ...$

on a directement :

$\frac{sin(x)}{x} = 1 -\frac{x^2}{3!} +\frac{x^4}{5!} + ... + (-1)^{n+1} \frac{x^{2n-2}}{(2n-1)!} + ...$

Qui s'intègre sans difficultés ... mais avec une somme infinie de termes.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Intégrale d'une fonction

Re-

  Pour compléter les résultats de mes camarades, il est très vraisemblable que $\int_0^1 \frac{\sin(t)}{t}dt$ ne s'exprime pas simplement (disons comme produit, somme, quotient, composée en nombre fini) à l'aide des fonctions usuelles (exponentielle, logarithme, puissance, trigonométrique....).

F.

tgaouss

Membre

Inscription : 20-10-2022

Messages : 14

Re : Intégrale d'une fonction

Bonjour, j'ai besoin que vous me donniez un coup de main avec cette intégrale :
integral(1, x, ln(1 + x^2) / x^2, dx)

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Intégrale d'une fonction

Bonjour,

Yoshi va intervenir (à raison) pour te dire qu'il faut créer une nouvelle discussion car ton post n'a pas beaucoup de lien avec le fil de cette discussion.

Moi, je vais te répondre que j'ai "besoin" de savoir ce que tu as essayé !

Et je vais quand même évoquer l'intégration par parties pour te mettre sur une piste.

Roro.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Intégrale d'une fonction

Bonjour tgaouss,

@Roro : bien vu ! Mais c'est la seule réponse qu'il aura en dehors de sa propre discussion...

@tgaouss
Ta question a-t-elle un rapport avec le sujet en cours ?
Poser une question, c'est déjà y répondre dit-on...
Je réponds donc à ma question : NON !

Ce qui m'amène à une deuxième question :
Elle ne constitue donc pas une réponse à Muniiiam, alors pourquoi avoir cliqué sur Répondre ? ou écrit directement dans le cadre Réponse rapide ?

Tu devais ouvrir une Nouvelle discussion : ce n'est pas propre à BibMath, c'est vrai pour n'importe quel forum...
Donc clique sur ce lien :
Nouvelle discussion
tu ouvriras ta propre discussion, tu lui donneras un titre pour ton sujet et tu copieras/colleras ta question : tout intrus en serait chassé...

Pourquoi cela ? Pour une question d'ordre !... Si tout le monde se mettait à poser des questions différentes dans un même sujet sans rapport, bonne chance pour retrouver dans ce bo...el la réponse à ton sujet !

Tu es dans le sous-forum Entraide (Supérieur)
Cliquer sur le lien ci-dessus t'amène à l'accueil de ce sous-forum et tu constateras que ce sous-forum comporte 204 pages de titres de sujets différents.
En haut et en bas de chaque page figure ce lien :Nouvelle discussion, soit 408 fois...

D'autre part, où en es-tu de ton avancement dans ton sujet sur les complexes ? Tu veux bien y retourner et nous en faire part, s'il te plaît ? Merci d'avance...

Ne tarde pas : dans 24 h je supprime ton post et le mien...

      Yoshi
- Modérateur -

JJ

Membre

Inscription : 04-06-2007

Messages : 110

Re : Intégrale d'une fonction

Réponse à Muniaiiiam et pour discuter de la distinction entre "fonction élémentaire" et "fonction spéciale" (Distinction arbitraire à mes yeux).

Bonjour,

La fonction spéciale Si(x) est une primitive de sin(x)/x
[tex]\int \frac{\sin(x)}{x}=\text{Si}(x)+\text{constante}[/tex]
Elle ne s'exprime pas avec un nombre fini de fonctions élémentaires dans le cas général.
Par contre dans le cas particulier suivant :
[tex]\int_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}=\frac{\pi}{2}[/tex]
Ce n'est pas le cas pour Si(1) que l'on sait pourtant calculer numériquement avec autant de précision que l'on veut.
[tex]\int_0^{1} \frac{\sin(x)}{x}=\text{Si}(1)\simeq 0.9460830703671830149413533138231796578123379547381117904714547735...[/tex]
Une discussion au sujet des fonctions spéciales : https://fr.scribd.com/doc/14623310/Safa … -speciales .