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Junior ste

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Géométrie différentielle

Salut.
Comment appréhender la notion de vecteur tangent vu comme pseudo dérivation ??
En effet étant donné une variété différentielle nous avons deux approche du vecteur tangent à la variété en un point
1er approche :
Pour déterminer le vecteur tangent v en une variété M au point a il suffit de déterminer une courbe (C) tracée sur la variété telque C(0)=a et C'(0)=v.
La deuxième approche définit le vecteur tangent comme étant une pseudo dérivation ie
Une application v:C*(M,lR)--->lR qui à f associe v(f)=dérivé de f en a dans la direction de v.

En effet je ne parviens pas à cerner le lien entre les 2 définitions.
Vos suggestions sont très sollicitées.

Glozi

Invité

Re : Géométrie différentielle

Bonjour,

Ça remonte à loin pour moi, j'ai l'impression que tu ne parles pas de cartes ou d'atlas pour ta variété différentielle, est-ce bien normal ?

Si mes souvenirs sont bons alors si $a\in M$ un point de la variété, on regarde une carte au voisinage de $a$. C'est à dire qu'on a : $\varphi : U \to V$ avec $a\in U$ et $V$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ ($n$ est la dimension de de ta variété).

Un chemin $c :]-\varepsilon,\varepsilon| \to U$ est dit $\mathcal{C}^1$ si $\varphi\circ c : ]-\varepsilon, \varepsilon[ \to V$ est $\mathcal{C}^1$. Vu qu'on demande des transitions entre cartes au moins $\mathcal{C}^1$, alors cette définition ne dépend pas du choix de la carte (exo).

Si on se donne deux chemins $\mathcal{C}^1$ $c_i : ]-\varepsilon, \varepsilon[\to U$ ($i\in \{1,2\}$), tels que $c_i(0)=a$. Alors on dit qu'ils sont tangents en $a$ si $(\varphi \circ c_1)'(0) = (\varphi \circ c_2)'(0)$. Encore une fois on vérifie que cette définition de tangence est indépendante du choix de la carte.

On quotiente alors l'ensemble des chemins de ces chemins par la relation d'équivalence 'être tangent'. On obtient alors $T_a M$ : l'espace tangent de $M$ en $a$.
Je note $[c]$ une classe d'équivalence d'un chemin pour la relation d'équivalence de tangence.

On a une bijection :
$\varphi_* : T_aM \to \mathbb{R}^n, [c] \mapsto (\varphi\circ c)'(0)$.

Cela donne une structure d'espace vectoriel sur $T_aM$ et on vérifie que cette structure d'espace vectoriel ne dépend pas du choix de la carte (exo).

Ensuite si tu te donnes deux variété $M$ et $N$ et une application $f\in \mathcal{C}^1(M,N)$. Tu définis son application tangente en $a$ comme
$T_af : T_aM \to T_{f(a)}N , [c] \mapsto [f\circ c]$. (vérifier que cette application est bien définie et est une application linéaire).

Toi pour ton application, j'ai l'impression que tu choisis $N=\mathbb{R}$. Tu identifie $T_y N \equiv \mathbb{R}$.  Et ton application devient
$\mathcal{C}^1(M,\mathbb{R}) \to T_{f(a)}N, f \mapsto T_a f(v)$
Mais il faut voir $v$ comme un élément de $T_aM$ c'est à dire $v=[c]$ pour un certain chemin $c$.

J'espère que ça a pu éclaircir un peu la notion de vecteur tangent par contre j'ai jamais entendu parler d'une technique qui prend ta deuxième approche comme définition, je suis curieux si tu as une référence ?

Junior ste

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Re : Géométrie différentielle

Salut.
J'ai trouvé un truc pour éclaircir l'idée.
En effet quand cela est vu comme pseudo dérivation elle est aperçue comme la dérivée directionnelle de f qui est infiniment différentiable sur M dans lR.
Dans ce cas on trouve un lien très formelle entre les deux définitions donné par:
V(f)=d/dt(foC)(0)=(foC)'(0)
                               =f'(a)v donc V(f) est colinéaires à v donc est élément de l'espace tangent en a...
Voilà ce que je suggère à vous de complémenter.

Dernière modification par Junior ste (13-10-2022 16:03:32)

Junior ste

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Re : Géométrie différentielle

Salut.
Je cherche à généraliser une proposition.
En effet étant donné une sous variété [tex]M[/tex] de [tex]\mathbb{R}^n[/tex] de dimension n alors [tex]M[/tex] est un ouvert de [tex]\mathbb{R}^n[/tex] ce qui est clair en démontrer en utilisant la définition de sous variété.
La généralisation vient du fait que si [tex]M[/tex] et [tex]N[/tex] sont deux sous variété de [tex]\mathbb{R}^n[/tex] de même dimension d tel que [tex]M[/tex] soit inclu dans [tex]N[/tex] alors M est un ouvert de [tex]N[/tex].
Je cherche toujours à procéder de la même façon mais suis bloqué..