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#1 23-04-2022 15:57:14

Abdoumahmoudy
Membre
Inscription : 29-08-2021
Messages : 150

Probabilité et matrice stochastique

Bonjour , j'ai l'exercice suivant :
    On dispose d'un objet T et de trois urnes numérotés 1 , 2 et 3 .A chaque instant n € N , T est dans une des trois urnes et une seule .on note pour tout n€N ,Xn la variable aléatoire égale au numéro de l'urne dans laquelle se trouve l'objet à l'instant n et Ln le vecteur (P(Xn=1), P(Xn=2), P(Xn=3)).on suppose connu la loi de X0 et A =aij la matrice de M3(R) définie par : pour tout i,j appartenant à [1,3] , aij = P(X1=j/X0=i).
On suppose que pour tout (i,j) € [1,3]^3
P(Xn+1=j\Xn=i)=P(X1=j/X0=i).
1) Montrer que A est une matrice stochastique.
2) Montrer que pour tout n€N , Ln = (tA)^n.L0.
3) on suppose dorénavant que A = 1.       0           0
                                                             1/2.     1/2.     0
                                                             1/3.     1/3.    1/3
Montrer que la suite (Ln) converge vers ( 1
                                                                         0
                                                                         0 ).


J'ai réussi à résoudre les deux premières questions, mais j'ai pas pu résoudre la troisième question, une idée svp pour résoudre la troisième question !

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#2 23-04-2022 18:48:14

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Probabilité et matrice stochastique

Bonjour,

  As-tu essayé de calculer $A^2$ et $A^3$ et voir si tu ne peux pas déduire quelque chose sur ces matrices???
- peut-être aussi as-tu appris à diagonaliser des matrices, ce qui pourrait être utile ici....

F.

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#3 26-04-2022 01:28:11

Abdoumahmoudy
Membre
Inscription : 29-08-2021
Messages : 150

Re : Probabilité et matrice stochastique

Bonjour Fred,
Oui je vais essayé de diagonaliser la matrice , je pense que cela est plus utile .

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#4 30-04-2022 04:21:56

Abdoumahmoudy
Membre
Inscription : 29-08-2021
Messages : 150

Re : Probabilité et matrice stochastique

Fred a écrit :

Bonjour,

  As-tu essayé de calculer $A^2$ et $A^3$ et voir si tu ne peux pas déduire quelque chose sur ces matrices???
- peut-être aussi as-tu appris à diagonaliser des matrices, ce qui pourrait être utile ici....

F.

Bonjour fred , je me souviens que mon professeur a procédé à la diagonalisation de quelques chose , mais ma question c'est si je diagonalise cette matrice , comment ça peut être utile à répondre à la question demandé ?
Merci beaucoup.

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#5 30-04-2022 07:38:15

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Probabilité et matrice stochastique

Si tu diagonalises ta matrice c'est facile de calculer sa puissance n ieme.

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#6 03-05-2022 00:46:39

Abdoumahmoudy
Membre
Inscription : 29-08-2021
Messages : 150

Re : Probabilité et matrice stochastique

Fred a écrit :

Si tu diagonalises ta matrice c'est facile de calculer sa puissance n ieme.

Oui j'ai compris , merci beaucoup.

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#7 16-05-2022 16:30:57

Abdoumahmoudy
Membre
Inscription : 29-08-2021
Messages : 150

Re : Probabilité et matrice stochastique

Bonjour , est-ce-que je peux dire s'il vous plaît que les valeurs prises par Xn forment un système complet d'événements ?
Merci d'avance.

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#8 16-05-2022 19:52:43

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : Probabilité et matrice stochastique

Bonsoir,

Jeune-homme, ne sais-tu pas qu'avant de vouloir manger ce qu'il y a dans l'assiette de ton voisin, il faut d'abord vider la tienne ?

En conséquence, je ferme cette discussion : bravo ! Tu as perdu du temps en voulant  le beurre, l'argent du beurre et la crèmerie en supplément.
Tu as posté ici à 16 h 30 min 57 s et à 19 h 40, personne n'étant accouru pour te répondre, tu as posté sur l'Île Maths :

https://www.maths-forum.com/superieur/p … 60713.html

C'est un comportement extrêmement désagréable (merci pour ceux qui t'ont répondu, ils vont apprécier !) : vois-tu, ici tu n'auras plus de réponses, et chez eux, je doute que tu sois bien accueilli si tu y retournes...

      Yoshi
- Modérateur -


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