diagonales_d_un_polygone

Wiwaxia · 30-01-2022 14:39:57

Bernard-maths a écrit :

... / ... Autrement je ne retrouve plus le calcul qui m'avait donné ce résultat !??? Ou bien j'a ifait une erreur ? ...

jpp avait donné deux réponses (#4 , #6) dès le début de la discussion.
https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 331#p97331

Bernard-maths a écrit :

... / ... 2*C_n⁴ = deux fois C_n⁴ ! Or C_n⁴ est le nombre de points d'intersections intérieurs au polygone ... donc il y en a autant dehors ! C'est ce qui m'a amené à vous poser la question ...

Et même deux fois plus ... le dernier décompte ne concernait que les points extérieurs.

Bernard-maths · 30-01-2022 16:44:13

Re !

Après quoi court-on ? Je refais quelques calculs ... justes ?

Pour n = 4, quadrilatère, il n'y a que 2 diagonales, qui se coupent en 1 point intérieur, et en 0 point extérieur, OK ?
Pour n = 5, pentagone, il y a n (n-3) / 2 = 5 diagonales, qui se coupent en C₅² = 5 points intérieurs, et ... 0 extérieurs !
Pour n = 6, hexagone, il y a n (n-3) / 2 = 9 diagonales, qui se coupent en C₆² = 15 points intérieurs, et ... 3 extérieurs ?

Je n'ai pas la tête à faire ces calculs en ce moment, bonne suite !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (30-01-2022 17:54:31)

Zebulor · 30-01-2022 20:13:44

Bonsoir !

Bernard-maths a écrit :

Après quoi court-on ?

On verra bien ...Comme l'écrit Wiwaxia c'est un jeu !

à quelque chose qui servirait de base à la construction de reseaux de villes futuristes?

Dernière modification par Zebulor (31-01-2022 15:10:17)

Bernard-maths · 31-01-2022 14:01:52

Bonjour à tous !

On verra bien, donc on joue et on accumule les données !

Pour un heptagone, n = 7, je trouve bien N diagonales = C₇⁴ = 35, mais pour les points extérieurs je n'en trouve que 14 !!! ... 14 = 7 * 2 = n(n-3)/2 ??? ... En voyez-vous d'autre(s) ?

On va essayer avec un octogone ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (31-01-2022 14:23:29)

jpp · 31-01-2022 15:08:20

Salut,

Bernard-maths , ok pour14 avec l'heptagone . Si cela correspond avec la formule que j'ai calculée , avec l'octogone convexe irrégulier , au maximum tu devrais compter 40 points , puis 90 points avec n=9 .

Avec l'hexagone irrégulier (aucune diagonale parallele) , je trouve 3 points extérieurs .

Soit E , le nombre maximum de points à l'extérieur .

[tex]E = \cfrac{60.C_n^6}{(n-1).(n-2)}=\cfrac{n.(n-3).(n-4).(n-5)}{12}[/tex]

Donne bien évidemment. 0 pour n = 4 et n = 5 .

Dernière modification par jpp (31-01-2022 15:29:30)

Bernard-maths · 31-01-2022 15:39:35

Bonjour jpp !

J'ai déjà le nombre de diagonales n(n-3)/2, mais je n'arrive pas encore à justifier le reste (n-4)(n-5)/6 ...

Zebulor · 31-01-2022 16:28:09

Hello;

Bernard-maths a écrit :

J'ai déjà le nombre de diagonales n(n-3)/2, mais je n'arrive pas encore à justifier le reste (n-4)(n-5)/6 ...

^@Bernard: Je crois qu'il faut considérer les $n-3$ diagonales issues de chaque sommet. Mais comme j 'ai peur de dire des conneries je ne m'aventure pas plus loin.

Bernard-maths · 31-01-2022 17:36:12

Bonsoir à tous !

Aucune importance tout ce tremblement ! Car aujourd'hui je fête mes 28 millediem ! (sauf erreur minime)

Quelle est donc ma date de naissance ?

Bonsoir ! Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (31-01-2022 17:37:12)

Zebulor · 31-01-2022 17:39:44

@Bernard : bon anniversaire ! avec années bissextiles c'est pas simple ... si je puis me permettre - respect des aînés oblige : l'année : $3\int_0^{+\infty}\,t^6exp(-t)dt-214$

Dernière modification par Zebulor (01-02-2022 06:36:35)

Bernard-maths · 01-02-2022 09:02:46

Bonjour à tous !

jpp! Ouf, j'ai trouvé la même formule à droite que toi, donc tu dois avoir juste ! Mais je ne comprnd pas le début !?

Zebulor : les années normales comptent (toujours) 365 jours. Une année est bissextile tous les 4 ans. Sauf tous les 400 ans. On en est là pour le moment ! Je te laisse la suite, mais ce n'est qu'un jeu ...

Dernière modification par Bernard-maths (01-02-2022 09:29:17)

Zebulor · 01-02-2022 09:22:04

Hello,
@Bernard : petite parenthèse dans cette discussion qui porte sur les diagonales :
$3\int_0^{+\infty}\,t^6exp(-t)dt-214=1946$.

Dernière modification par Zebulor (01-02-2022 09:22:23)

Bernard-maths · 01-02-2022 09:26:47

Hello !

Zebulor ! Je ne demande pas à la seconde près, mais à 1 jour près, ton intégrale est imprécise ... d'1 an.

Dernière modification par Bernard-maths (01-02-2022 09:27:27)

Bernard-maths · 01-02-2022 09:53:57

Bonjour jpp !

J'ai procédé par nombre de sécantes donnent tous les points d'intersections possibles, y compris aux sommets avec multiplicité, donc à retrancher, ainsi que nombre de points intérieurs ... Ce qui donne la formule à droite. Je pense que tu as rajouté (n-1)(n-2) etc ... pour avoir la formule de gauche.

A la prochaine ! Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (01-02-2022 09:54:36)

Wiwaxia · 01-02-2022 12:33:16

Bonjour,
Je ne comprend pas le sens de la discussion. Tout a été déjà détaillé (sans démonstration générale, il est vrai) page précédente (#45, 48 et 49), et confirmé (me semble-t-il) par les réponses de jpp.

Dernière modification par Wiwaxia (01-02-2022 12:35:34)

Bernard-maths · 01-02-2022 13:12:33

Bonjour à tous !

Comme je n'avais pas trouvé "la formule", je me suis reconcentré sur le raisonnement. Et après mes multiples erreurs, je crois bien avoir trouvé, ce qui correspond de plus à la formule de jpp !

Donc pour resituer le problème, un vertain Zebulor a posé un ptit problème : dans un polygone convexe on considère les points d'intersection des différentes diagonales. Au maximum, ce qui sous-entend qu'on compte avec leur multiplicité les points qui se "recouvrent".

jpp avait donné la formule C_n⁴, qui est bien celle retrouvée plus tard.

Puis j'ai cru qu'il y en avait autant dehors ! Et j'ai posé la question : combien y-en-a-t-il dehors ?

Et là c'est parti un peu dans tous les sens, sauf jpp qui a finalement donné une formule en #55. D'où la sort-il ?

J'ai mis du temps à trouver un raisonnement correct, qui retrouve la formule de jpp !

Je vous détaillerai ces calculs ce soir, car je dois sortir !!!

A ce soir, Bernard-maths

jpp · 01-02-2022 13:49:35

Salut ,

Voilà a peu près ce que j'ai fait .

A) j'ai dénombre les diagonales intérieures [tex]d_i[/tex]

Puis le nombre de couple de ces diagonales ( toutes sécantes ) , générant autant de points d'intersection .

[tex]N = C_{d_i}^2 = \cfrac{n.(n-3)}{4} \times\cfrac{n.(n-3) - 2}{2}[/tex]

B). Je dénombre le nombre S des points d'intersection "sommets" multiples .

[tex]S = n. C_{n-3}^2 = \cfrac{n.(n-3).(n-4)}{2}[/tex]

C) et enfin le nombre de points d'intersection intérieurs :

[tex]N_i = \cfrac{n.(n-1).(n-2).(n-3)}{24}[/tex]

Le résultat est donné par :[tex]N_e = N - S - n_i[/tex]

Qui , une fois simplifié , donne :

[tex]N_e = \cfrac{n.(n-3).(n-4).(n-5)}{12}[/tex]

Avec n = 10 , on en compte 175 a l'extérieur .

Avec n = 11 , 12 , 13 ... On en compte 308 , 504 , 780 ... Sauf erreur .

Bernard-maths , je pense que tu es né 363j après " le jour le plus long " (4 juin 45) .

210 j. En 45 + 76 x 365 j + 19 "29 février" + 31 j en 22

Je n'ai peut-être rien compris au film .

Dernière modification par jpp (01-02-2022 15:38:34)

Bernard-maths · 01-02-2022 16:09:06

Bonjour à tous !

Me revoilà, donc ma solution, qui diffère de celle de jpp ... au moins au début.

Soit un polygone convexe de n sommets. Je compte avec ces n points combien je peux tracer de droites sécantes du polygone : n(n-3)/2. Puis si je prends 2 sécantes quelconques, combien de points d'intersection, y compris les multiples : n(n-3)/2 * [n(n-3)/2 - 1]/2 = n(n-3)(n²-3n-2)/8.

On remarque que des sécantes se coupent à plusieurs sur les n sommets, combien par sommet ? Par chaque sommet passent (n-3) sécantes, qui recoupent les (n-4) autres au même sommet, donc en tout sur n sommets : n*(n-3)(n-4)/2.

Et on sait qu'il y a n(n-1)(n-2)(n-3)/24 points intérieurs "distincts".

Donc en tout on aura en points extérieurs : n(n-3)(n²-3n-2)/8 - n*(n-3)(n-4)/2 - n(n-1)(n-2)(n-3)/24.

Soit : [n(n-3)/24] * [3(n²-3n-2) - 12(n-4) - (n-1)(n-2)] = [n(n-3)/24] * [3n²-9n-6 - 12n+48 - n²+3n-2].

Soit : [n(n-3)/24] * [2n² - 18n + 40] = n(n-3)/24 * 2(n²-9n+20), ce dernier de racines 4 et 5,

soit : n(n-3)(n-4)(n-5)/12 !!! Ce qui est pareil que jpp, mais différement ... et la présentation en moins.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (01-02-2022 16:14:36)

Bernard-maths · 01-02-2022 16:46:23

@ jpp !

Tu n'es pas loin ... mais je viens de recalculer, et j'ai du me tromper, ih ih !

J'ai mis 9 jours en trop, et toi un février de trop (en 2000 ?), je te laisse recalculer ...

Peu importe, j'ai quand même fêté 8 jours en avance !

jpp · 02-02-2022 10:54:36

Salut ,

Il me semble bien qu'une année fin de siècle est bissextile tous les 4 siècles , et non l'inverse .

1600 et 2000 sont des années bissextiles , non ?

Mon nombre 19 doit être correcte il me semble .

Bernard-maths · 02-02-2022 12:35:45

Bonjour !

Oui jpp, tu as raison, et moi je marche à l'envers ! Il faut que je recalcule !!!

Après 3 recomptages ! Je trouve mes 28 000 jours le 8 février 2022, vers 13h ...

Je serai obligé de refêter ça ?

Dernière modification par Bernard-maths (02-02-2022 14:34:30)

Wiwaxia · 05-02-2022 09:01:18

Bonjour,

Par curiosité, j'ai regardé ce que l'on obtenait dans le cas de deux polygones convexes à 12 sommets, l'un réguler, l'autre dont les sommets successifs se répartissent aléatoirement sur un cercle de même rayon et de telle sorte que le rapport de deux angles au centre

θi = (OA_i, OA_i+1)

ne dépasse jamais un seuil donné: θ_max/θ_min ≤ 4 .
Et sur la lancée, ce qu'il résultait du pavage du plan en cellules adjacentes, construites sur l'ensemble des intersections des diagonales intérieures au polygone, et de ses (N) sommets.

LBetM1Dor7O_N=12-4-Images.png

Dernière modification par Wiwaxia (05-02-2022 11:24:33)

Bernard-maths · 05-02-2022 11:17:06

Bonjour Wiwaxia !

C'est très joli ! Un peu de piment, ou de l'art aux maths ?

As-tu compté les points ... ?

Bonne journée, B-m

Dernière modification par Bernard-maths (05-02-2022 11:18:53)

Wiwaxia · 05-02-2022 11:31:10

Bonjour Bernard-maths

Bernard-maths a écrit :

... / ... As-tu compté les points ... ?

pour les intersections, C(₁₂⁴) = 495 dans les deux cas: le programme ignore la superposition des points.

Dernière modification par Wiwaxia (05-02-2022 13:00:10)

Zebulor · 05-02-2022 12:02:37

Bonjour,
très joli ! je n'aurais jamais cru que cette discussion mène aussi loin..
Quelle application pratique ? en aménagement de l'espace, réseaux de neurones..?

Dernière modification par Zebulor (05-02-2022 12:15:10)

Wiwaxia · 05-02-2022 13:11:04

Zebulor a écrit :

... / ... Quelle application pratique ? ...

Rien, sinon l'image par elle-même ... Le sujet initial conduit à des ensembles de points propices à la construction de diagrammes de Voronoï.

Il faudrait reprendre la coloration aléatoire des cellules.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#51 30-01-2022 14:39:57

Re : diagonales_d_un_polygone

#52 30-01-2022 16:44:13

Re : diagonales_d_un_polygone

#53 30-01-2022 20:13:44

Re : diagonales_d_un_polygone

#54 31-01-2022 14:01:52

Re : diagonales_d_un_polygone

#55 31-01-2022 15:08:20

Re : diagonales_d_un_polygone

#56 31-01-2022 15:39:35

Re : diagonales_d_un_polygone

#57 31-01-2022 16:28:09

Re : diagonales_d_un_polygone

#58 31-01-2022 17:36:12

Re : diagonales_d_un_polygone

#59 31-01-2022 17:39:44

Re : diagonales_d_un_polygone

#60 01-02-2022 09:02:46

Re : diagonales_d_un_polygone

#61 01-02-2022 09:22:04

Re : diagonales_d_un_polygone

#62 01-02-2022 09:26:47

Re : diagonales_d_un_polygone

#63 01-02-2022 09:53:57

Re : diagonales_d_un_polygone

#64 01-02-2022 12:33:16

Re : diagonales_d_un_polygone

#65 01-02-2022 13:12:33

Re : diagonales_d_un_polygone

#66 01-02-2022 13:49:35

Re : diagonales_d_un_polygone

#67 01-02-2022 16:09:06

Re : diagonales_d_un_polygone

#68 01-02-2022 16:46:23

Re : diagonales_d_un_polygone

#69 02-02-2022 10:54:36

Re : diagonales_d_un_polygone

#70 02-02-2022 12:35:45

Re : diagonales_d_un_polygone

#71 05-02-2022 09:01:18

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#72 05-02-2022 11:17:06

Re : diagonales_d_un_polygone

#73 05-02-2022 11:31:10

Re : diagonales_d_un_polygone

#74 05-02-2022 12:02:37

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#75 05-02-2022 13:11:04

Re : diagonales_d_un_polygone

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