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#1 06-10-2021 15:35:39

de100
Invité

$ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

Bonjour a tous et a toutes,

Dans le calcule de limite en permet de dire que \infty /\infty  est égal a l'infini ou un nombre ou ca n'existe pas, tant qu'on peux écrire l'infini sous forme d'une limite d'une fonction par exemple $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x/x+1=\infty/\infty=1$ ou $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^2/x+1=\infty/\infty=\infty$  le rapport \infty /\infty  est calculable...


Démonstration que  $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ :
On:
$ 10101010101...=1+100+10000+1000000...= \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n}=\infty$

Et
$9999999…=9+90+900+9000+...=\sum_ {n=0} ^\infty 9*10^n =\infty$

Et
$1=0.9999… $

Donc
$0,10101010…=0,10101010…/0,999999...=10101010101…/9999999…=10/99 $

Donc
$ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} / \sum_ {n=0} ^\infty 9*10^n =10/99 $


Donc
$ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $.

Y a t'il une erreur dans cette démonstration?

#2 06-10-2021 18:16:54

Zebulor
Membre expert
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Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

Bonsoir,
sans avoir la prétention de te répondre rigoureusement, intuitivement ce $10/11$ légèrement inférieur à 1 parait franchement contre intuitif, parce que si tu considères ne serait ce que les sommes partielles des tous premiers termes :
$ \sum_ {n=0} ^{n=5} 10^{2n}$ vaut environ 10 milliards et $\sum_ {n=0} ^{n=5} 10^n = 111111$.
On est déjà dans un rapport d'environ $10^4$ !


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#3 06-10-2021 18:34:07

de100
Invité

Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

Oui ça paraît contre intuitif mais n>>infini par  n=5 ou plus, et l'infini est contre intuitif..

Et va dans le sens de certains mathématiciens qui pensent que plus l'infini est grand plus il serait égal à 0.

#4 06-10-2021 20:13:05

yoshi
Modo Ferox
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Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

Re,

certains mathématiciens (qui) pensent que plus l'infini est grand plus il serait égal à 0

Pardon ???...
Qui sont ces "certains mathématiciens  qui pensent que"... ?
On peut avoir des noms et les références de leurs interventions dans ce sens ? Merci.
Il y a une chose dont je suis certain : dès qu'on manipule, produit des raisonnements où l'infini intervient, il faut le faire avec prudence...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#5 07-10-2021 10:56:29

de100
Invité

Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

J'ai le droit de poser une égalité entre deux limites, même si deux limites sont infini ou n'existe pas.
Et la démonstration a posé simplement une égalité de limite je vois aucune faille dans le raisonnement.

En clair je manipule ses sommes infini avec prudence dans  une égalité entre limite.

Je ne trouve plus lien, si non ici il s'interroge sur le ressemblance entre le 0 et infini qui n'existe pas réellement :
"Alors si même l’univers n’est pas infini, où peut-on trouver l’infini ?
Nulle part, semblerait-il ! Et comme l’écrit Christian Magnan, on ne peut lui attribuer qu’un statut mathématique.
Voilà quelques ressemblances avec le zéro longtemps nié et refusé car lui non plus ne trouvait pas de représentation dans le monde réel."

https://www.maths-et-tiques.fr/index.ph … s/l-infini

#6 07-10-2021 12:17:33

Wiwaxia
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Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

Bonjour,

de100 a écrit :

J'ai le droit de poser une égalité entre deux limites, même si deux limites sont infinies ou n'existent pas ...

Poser une égalité entre deux termes dont l'un n'existe pas conduit à tout et au contraire de tout. Et c'est le cas (pour prolonger l'argumentation de Zebulor) des deux séries divergentes que tu introduis et dont les sommes partielles

S1k = Σn=0n=k (102n) ,
S2k = Σn=0n=k (10n) ,

deviennent à partir d'un certain rang, supérieures à tout nombre donné à l'avance, et n'admettent par conséquent aucune limite finie.

Tu te fais piéger par l'expression courante "tendre ver l'infini", parce que l'infini n'est malheureusement pas un nombre au sens ordinaire du terme, et ne se prête à aucune opération courante de l'arithmétique.

Les sommes partielles admettent pour expression :

S1k = (100k+1 - 1)/(100 - 1) = (100k+1 - 1)/99 ;
S2k = (10k+1 - 1)/(10 - 1) = (10k+1 - 1)/9 ,

et tendent effectivement toutes deux vers l'infini lorsque (k) augmente indéfiniment;
Elles admettent pour rapports:

R12k = S1k/S2k = (9/99)(100k+1 - 1)/(10k+1 - 1)

qui tend vers l'infini lorsque k tend vers l'infini;

R21k = S2k/S1k = (99/9)(10k+1 - 1)/(100k+1 - 1)

qui tend vers zéro lorsque k tend vers l'infini.

On obtient donc en reprenant ton raisonnement initial:

R12∞ = ∞ / ∞ = ∞ ; R21∞ = ∞ / ∞ = 0 ;

il y a donc comme un défaut ...

On pourrait y ajouter

Rk = S1k/S2k2 = (92/99)(100k+1 - 1)/(10k+1 - 1)2

qui tend vers (92/99) = 9/11 lorsque (k) tend vers l'infini, d'où:

∞ / ∞ = 9/11 ...

Qui dit mieux ?

Dernière modification par Wiwaxia (07-10-2021 13:01:21)

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#7 07-10-2021 12:58:00

de100
Invité

Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

La démonstration n'est même pas baser sur une somme infini, mais sur les règles d'arithmétique de base pour réduire une fraction selon l'écriture d'un nombre fini ou infini 0.5/0.9= 0.5555.../0.9999=5555.../9999..=5/9 .
Et on peut écrire l'infini sous forme d'un nombre infini=5+50+500+5000...=5555... ou infni=9+90+900+9000+..=9999..

L'infini même si il n'est pas un nombre on peut utiliser sur lui les règles de base multiplication et adition et soustraction et division,la dans mon démonstration j'ai appliquer la règle de reduction  j'ai le droit même si l'infini n'est pas un nombre mais la manière de l'écrire et réductible par fraction  .

#8 07-10-2021 13:52:42

Wiwaxia
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Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

de100 a écrit :

La démonstration n'est même pas baser sur une somme infini, mais sur les règles d'arithmétique de base pour réduire une fraction selon l'écriture d'un nombre fini ou infini 0.5/0.9= 0.5555.../0.9999=5555.../9999..=5/9 .
Et on peut écrire l'infini sous forme d'un nombre infini=5+50+500+5000...=5555... ou infni=9+90+900+9000+..=9999..

L'infini même si il n'est pas un nombre on peut utiliser sur lui les règles de base multiplication et addition et soustraction et division ...

C'est bien précisément ce qui t'échappe: toute démonstration entreprise à partir d'une grandeur qui n'existe pas (ou dont la définition est inconsistante) ne peut conduire qu'à des absurdités; et c'est ce que tu fais en envisageant des énormités telles que

5+50+500+5000...=5555...

Justifier de telles démarches en prenant prétexte de l'existence de nombres décimaux à nombre infini de chiffres, c'est oublier que la commodité d'écriture x = 0.555555... est une convention (parfaitement admise dans le cas envisagé) pour représenter la série convergente

S = ∑k=1(5/10k) = 5*∑k=1(10-k) ;

ce qui rend licites les opérations habituelles, telles que 0.555555... = 5 * 0.111111... .

Ecrire par contre 555555... = 5 * 111111... est une absurdité, qui conduirait à:

∞ = 5 * ∞ , d'où: 4 * ∞ = 0 , ∞ / ∞ = 5 , 1 = 5 ... et j'en passe !

Le tableau de chasse ne te paraît-il pas édifiant ? Dans le cas contraire, tu devrais envisager une sérieuse reconversion ...

Dernière modification par Wiwaxia (07-10-2021 16:57:19)

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#9 07-10-2021 14:16:32

de100
Invité

Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

Est ce que le résultat 10/99 est bon non?

Il obtenu juste par la règle d'arithmétique pour réduire la fraction d'un nombre infini obtenu en suppriment le virgule.

Il n'y aucun absurdité dans mon exemple je suis dans le cas juste ou je peux réduire la fraction avec cette écriture de l'infini baser sur une série, donc je suis sur l'identité ∞ = ∞ car je n'utilise ni multiplication ni adition ni division pour réduire la fraction...

#10 07-10-2021 14:20:52

de100
Invité

Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

Et j'obtiens 10/99 pour tout série capable de créer 99999999... et 1010101010... le rapport   1010101010.../99999999...=10/99.

#11 07-10-2021 14:49:37

Wiwaxia
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Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

de100 a écrit :

Est ce que le résultat 10/99 est bon non? ...

Les deux sommes indiquées sont dépourvues de signification; et même en laissant de côté tout ce qu'il faudrait écrire pour élaborer une présentation correcte de ce qui figure à gauche de l'égalité (et que, je crois, tu ne parviendrais à comprendre qu'au prix de grandes difficultés), le résultat final est faux:
le rapport

Rk = (∑n=0k(102*k))/(∑n=0k(9*10k))

tend vers l'infini lorsque (k) tend vers l'infini, et non vers 10/99 .

D'autres pourront argumenter beaucoup mieux que moi sur ce sujet. Cependant si tu ne te donnes pas la peine de réfléchir aux objections  présentées, tu ne tireras rien de cet échange.

Dernière modification par Wiwaxia (07-10-2021 14:51:09)

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#12 07-10-2021 15:22:21

de100
Invité

Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

Wiwaxia a écrit :
de100 a écrit :

Est ce que le résultat 10/99 est bon non? ...

Les deux sommes indiquées sont dépourvues de signification; et même en laissant de côté tout ce qu'il faudrait écrire pour élaborer une présentation correcte de ce qui figure à gauche de l'égalité (et que, je crois, tu ne parviendrais à comprendre qu'au prix de grandes difficultés), le résultat final est faux:
le rapport

Rk = (∑n=0k(102*k))/(∑n=0k(9*10k))

tend vers l'infini lorsque (k) tend vers l'infini, et non vers 10/99 .

D'autres pourront argumenter beaucoup mieux que moi sur ce sujet. Cependant si tu ne te donnes pas la peine de réfléchir aux objections  présentées, tu ne tireras rien de cet échange.


Les deux sommes indiquées sont dépourvues de signification

Il ne faut pas écrire ses formules les remplacer tous par l'infini alors non?

L'infini peut être défini par des formules limite ou série .

la formule 1=0.999.... existe  alors pourquoi pas
A=9999...=infini n'existe pas aussi comme pour i^2=-1 la je supprime juste le . décimal  pour écrire 9999.. et je le nome nombre très grand pour vérifier l'identité 9999=infini, et je peux trouver plusieurs série divergente  pour écrire ce nombre donc 9999... =infini .
et qui vérifier juste la règle de reduction pour obtenir toujours 10/99 avec des objets mathématique qui peuvent écrire ce nombre qui n'a pas de sens 9999...

#13 07-10-2021 16:42:30

Wiwaxia
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Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

de100 a écrit :

... la formule 1=0.999.... existe  alors pourquoi pas
A=9999...=infini n'existe pas aussi comme pour i^2=-1 ...

Le nombre (i) et plus généralement les complexes obéissent à des règles parfaitement cohérentes, en ce qui concerne les opérations élémentaires. Il n'en est rien pour l'infini, qu'il est impossible d'incorporer à une table d'opérations sans faire rapidement apparaître des contradictions multiples et insurmontables.

Quand à l'égalité 1=0.999.... inhérente à la notation décimale de position, je ne peux que te renvoyer à l'observation que tu n'a manifestement pas encore comprise.

Tu devrais travailler les maths, et te documenter un peu avant de spéculer sur l'infini ...

de100 a écrit :

là je supprime juste le . décimal  pour écrire 9999...

... ce qui revient à multiplier le nombre initial par un facteur s'écrivant avec un '1', suivi d'une infinité de zéros. Ce n'est pas rien !
Tu patauges dans les mêmes erreurs.

https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_convergente

https://www.bibmath.net/dico/index.php? … nfini.html

https://www.youtube.com/watch?v=1YrbUBSo4Os

https://www.youtube.com/watch?v=CwqoAVMzgp4

Dernière modification par Wiwaxia (07-10-2021 18:28:58)

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#14 08-10-2021 11:34:42

de100
Invité

Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

Je pense que vous avez mal compris ma démonstration:

Tous démarre par 1=0.99999...
Je sais que 0.1010101...=0.1010101.../0.99999... =10/99. Ici  il n'y a aucune démonstration pour dire 0.1010101.../0.99999... =10/99 juste l'utilisation des règles intuitives de division sur un nombre de 10 et 9 infini.

Les règles intuitives de division dit aussi que par exemple si j'ai 0.10/0.9=10/9 je peux enlever la point décimal ,ce n'est pas juste multiplier par 10 c'est une règle de division et l'équivalence avec la multiplication c'est multiplié les deux par 10.

Et ici j'enlevé la virgule 0.1010101.../0.99999...=1010101.../99999... je m'en fou c'est quoi l'équivalence avec la multiplication faut il multiplier par 10^n ou non.

Ici j'obtiens des nombres qui n'ont aucun sens mathématique 1010101... et 99999... mais avec les règles intuitive de la division qui sont valable même pour des nombres infini de 9 et 10 je peux conclure que 1010101.../ 99999...=10/99.

Puis j'ai passé a l'étape suivante de définir c'est quoi 99999... et 101010...  j'ai cherché des objets mathématiques A et B qui peuvent écrire c'est deux nombres ,j'ai trouvé un moyen avec les deux series divergentes mentionné mais problème ca donne A=101010..=infini et B=9999..=infini ,mais ce n'est pas un problème A/B=101010../99999..=10/99.

Si non si vous trouvez que les series divergentes ont un problème pour écrire ce nombre qui n'a pas de sens 99999... et 101010...  bah proposer moi deux autres objets mathématique qui peuvent écrire ses deux nombres ,et ou ses deux nombres ne valent pas l'infini ?

#15 10-10-2021 09:02:18

Wiwaxia
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Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

Intermède comique: devinez qui a dupliqué le sujet ?
https://www.forumfr.com/sujet939841-est … romLogin=1
La discussion a été supprimée sur MathOverflow.

Dernière modification par Wiwaxia (10-10-2021 09:07:16)

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#16 10-10-2021 14:17:44

de100
Invité

Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

Wiwaxia a écrit :

Intermède comique: devinez qui a dupliqué le sujet ?
https://www.forumfr.com/sujet939841-est … romLogin=1
La discussion a été supprimée sur MathOverflow.


Je ne vois aucun problème a prendre plusieurs avis des mathématiciens sur la démonstration, vous pouvez voir aussi cette discussion.

https://www.maths-forum.com/superieur/s … 43843.html


Votre avis est que j'utilise la notion de l'infini et ca cause un problème dans la démonstration, ma réponse est que non je n'utilise pas l'infini pour écrire A=9999... et B=1010101...  avec les deux series A et B, j'utilise juste l'ecriture qui ne valent pas l'infini car même dire que A=infini ou B=infini est incorrecte, car il faut surtout dire que A tend vers l'infini et B tend vers l'infini, moi je suis dans le cas ou si A=9999... et B=1010101... alors A tend vers l'infini et B tend vers l'infini.

Donc ma démonstration est correcte et je n'ai même pas utilisé de relation d'ordre juste les règles intuitive de division qui marche sur une infinité de chiffre pour la démontrer.

#17 12-10-2021 14:49:09

Zebulor
Membre expert
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Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

Bonjour,

de100 a écrit :

Donc ma démonstration est correcte et je n'ai même pas utilisé de relation d'ordre juste les règles intuitive de division qui marche sur une infinité de chiffre pour la démontrer.

@de100 : Dans ce cas le sujet est clos ?


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#18 12-10-2021 17:24:20

de100
Invité

Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

@Zebulor

Ils disent que je n'ai pas le droit de mettre cette égalité 0.101010.../0.99999...=10101010../999999...  car j'utilise la division sur deux nombres impossibles.
Or en calcule de limite en fait tous le temps ce genre d'égalité genre f(x)/g(x)=infini/infini=10/10=1 pour x tend vers l'infini et f(x)=x et g(x)=x+1 par exemple.
L'infini ici n'est pas un nombre et l'égalité marche.

La je n'est même pas l'infini j'ai deux nombres impossibles et l'égalité reste valide avec les règles intuitives de division.


Avec la série 1+100+10000...=10101010...=10101010... et la série 9+90+900+....=999999... je peux écrire exactement ses nombres impossibles ou la règle division marche.

Mais le problème est que les deux series sont divergente et j'ai 1+100+10000...tend infini et vous aurais l'infini  9+90+900+....tend infini

Mais ce n'est pas grave je peux dire que  si 1+100+10000...=10101010...=10101010... et  9+90+900+....=999999... alors ils tend vers l'infini et contraire est vrai si  1+100+10000... et 9+90+900+.... tend vers l'infini alors 1+100+10000...=10101010...=10101010... et  9+90+900+....=999999...

En tous cas moi je m'en fou si 1+100+10000... et 9+90+900+.... diverge vers l'infini si que compte dans cette démonstration et qu'il écrivent bien 10101010... et 999999...

#19 12-10-2021 20:12:23

Roro
Membre expert
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Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

Bonsoir,

Je suis d'accord avec Zebulor.

Et comme tu dis que tu t'en fous. Je pense que ça permet de conclure et tout le monde est content.

Roro.

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#20 12-10-2021 21:16:12

de100
Invité

Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

Bonjour Roro,

C'est juste une façon de dire que les deux series A et B écrivent mes nombres impossible par déduction logique, c'est ca le plus important pas qu'il tend vers l'infini .

Et que ses nombres sont impossible mais ils ne sont pas l'infini.

Je peux bien choisir deux series convergente vers 0 1/A et 1/B pour décrire l'égalité 101010.../9999...A/B=(1/B)/(1/A)=0/0=10/99.
Et dans ce cas les deux series converges vers 0 et je n'est pas affaire avec des series divergentes.

#21 12-10-2021 21:36:17

de100
Invité

Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

bah regarder la déduction d'où ca vient ,j'élargis juste la division sur le nouveau ensemble de mes nombres impossible .
1/2=11/22=111/222=1111/2222=...=1111.../22222..
15/14=1515/1414=15151515/14141414=151515.../14141414...
100/900=100100/900900=100100.../900900..
10/99=1010/9999=101010/999999=101010.../9999...

En faite pour toute nombre de taille égale je peux dire que a/b=aa/bb=aaa/bbb=aaa.../bbbb.. pour a et b entier de même taille.
J'ai juste obtenu deux nombre impossible aaaaa.../bbbb... en élargissons la formule sur ce nouveau ensemble du nombre.
Et ca viens de la formule 1=0.999... comme pour 1=-i^2

Je peux appeler le nombre impossible 999...=Z
et dire que l'ensemble de ses nouveaux nombres vérifie l'égalité :
aaaaa...=0.aaaaa*Z

#22 13-10-2021 10:17:56

yoshi
Modo Ferox
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Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

Re,

Dernière tentative après quoi, je pourrais bien fermer la discussion.
Cette tentative, j'en suis certain, est vouée à l'échec...
Pourquoi ? Parce que tu es mis en tête que
1. Tu es meilleur en Maths que tous ceux qui te répondent, et même le meilleur tout simplement
2. Qu'en conséquence tu ne peux pas te tromper
3. Que toute personne qui te dirait/montrerait que tu te trompes, ne serait pas crédible puisque tu es infaillible et que tu ne peux pas avoir tort
4. Tu ne viens donc sur les forums que pour qu'on s'incline, admiratifs, devant un futur détenteur de la médaille Fields. Forcément, tu es déçu !

Tu écris
$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}10^{2n}$
On ne procède pas ainsi.
On choisit un nombre $n$ dont ne veut pas connaître la valeur, valeur entière qui peut être donc aussi grande que souhaitée...
Cette somme, je l'écris $S_2=\sum\limits_{i=0}^{n}100^i$
De i=0 à i =n, il y  n+1 termes.
Cette somme
$S_2=1+100+10000+1000000+...+100^{n}$
est la somme des termes d'une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison 100.
1 c'est $100^0$
Elle s'écrit en fonction de $n$ :
$S_2= 1\times \dfrac{1-100^{n+1}}{1-100}=\dfrac{100^{n+1}-1}{99}$

Passons à $S_1$
$S_1=9+90+900+...+9\times 10^n=9(1+10+100+....+10^n)=9(10^0+10^1+10^2+...+10^n)$
S_1 est le produit de 9 par la somme des termes d'une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison 10.
Elle s'écrit encore ainsi en fonction de $n$:
$S_1 =9\times 1\times \dfrac {1-10^{n+1}}{1-10}=9\times 1\times \dfrac {10^{n+1}-1}{9}=10^{n+1}-1$
Et maintenant, je recherche la limitre de S1/S2 quand n tend vers l'infini
$\lim\limits_{n \mapsto +\infty} \dfrac{S_1}{S_2}$
Soit
$\dfrac{\lim\limits_{n \mapsto +\infty}S_1}{\lim\limits_{n \mapsto +\infty} S_2}$
Quelle est la limite de $S_1$ ? $+\infty$
Quelle est la limite de $S_2$ ? $+\infty$
Et donc la limite de $\dfrac{S_1}{S_2}$ est de la forme $\dfrac{\infty}{\infty}$
Et ça, on se sait pas ce que c'est parce que bien connue des mathématiciens, cette forme est une forme indéterminée.

On la rencontre souvent dans des exos et pour savoir ce que c'est, on apprend à "lever l'indétermination" (c'est comme ça qu'on dit).
Et puisque tu es si fort, je ne te ferai pas l'injure de la lever pour toi, je te laisse ce plaisir...

Pour n=10
S1=99999999999
S2=101010101010101010101
Et S2 calculé avec ma formule ?
Je vais utiliser Python

>>> from fractions import fraction as F
>>> G=F(100^11,99}
>>> G
(101010101010101010101,1)
>>> G.numerator == S2
True.

Ca colle...

Déjà, tu vois donc que $\dfrac{S_1}{S_2}<\dfrac{10}{99}$...

@+

Dernière modification par yoshi (13-10-2021 13:31:41)


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Hors ligne

#23 13-10-2021 12:42:55

de100
Invité

Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

Ne prend pas mal ,c'est un débat c'est  tout, comme vous les mathématiques me fascine.

Je me rappelle de mon prof de math quand il disait que S1=9+90+90...9*10^n=10^n+1-1 est valable juste pour n fini pas pour n infini.


Est ce que vous pouvez démontrer que cette relation S1=9+90+900...9*10^n=10^n+1-1 reste valide pour n infini et pourquoi il est utilisé pour déduire S=9+90+900+...?
vous ne le pouvez pas  car cette relation  est valide juste pour n fini. 

Si non il n'y aucune démonstration qui justifie que cette formule marche pour n infini, si non c'est quoi la démonstration mathématique qui dit que S=9+90+90...=limite(S1)   et que je peux utilise S1=10^n+1-1 pour n infini pour déduire que S tend vers l'infini?

#24 13-10-2021 12:49:35

de100
Invité

Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

En clair ma démonstration a le même problème du mathématique non justifié pour passer de S1=9+90+900..9*10^n qui un nombre fini a un nombre infini  S=9+90+900+... qu'on considère juste par definition que S=limite S1 quand n tend vers l'infini, il n'y a aucune démonstration valide pour prouver ca juste par définition....

#25 13-10-2021 14:02:30

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 945

Re : $ \sum_ {n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_ {n=0} ^\infty 10^n $ ???

Re,

C'est toi qui parle de débat ???
Bizarre, parce que le débat est plutôt limité...
On peut le résumer à :
Racontez ce que vous voulez, mais moi, je sais que j'ai raison, donc vous n'avez rien compris...
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

S1=9+90+900...9*10^n=10^n+1-1 reste valide pour n infini et pourquoi il est utilisé pour déduire S=9+90+900+...?
vous ne le pouvez pas  car cette relation  est valide juste pour n fini.

10^n+1-1
Déjà, cette écriture est fausse parce que tu ne respectes pas la priorité des opérations...
Avec Latex, tu écris ceci $10^n+1-1$, moi j'ai écris $10^{n+1}-1$ ce n'est pas la même chose.

Si Latex t'ennuie, je récris ça avec la barre d'outils des messages...
Avec la barre d'outils des messages, tu écris ceci 10n+1-1$, moi j'aurais écrit : 10n+1-1 ce n'est pas la même chose, non plus.
Si les deux t'ennuient, souviens-toi que les parenthèses existent et écris 10^(n+1) -1

vous ne le pouvez pas...

Bin si ! Cette formule, avec $a_0$ premier terme, $q$ la raison et $n+1$ le nombre de termes,  $S=a_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ traîne (et est démontrée) dans tous les manuels...
L'écriture proposée donne la valeur exacte de la somme quel que soit n...
Je répète :
elle est valable quel que soit n entier naturel...
Veux-tu bien te mettre ça dans la tête  ? $S_1=10^{n+1}-1$ est vrai quel que soit n entier naturel.
Et comme n est aussi grand que tu veux...

Je peux avec Python te fournir S1 pour n'importe quelle valeur de n à partir de la formule (pourvu que la mémoire RAM de ma bécane soit suffisante) par ex n=1000, à charge pour toi de calculer S1 en faisant $9+90+900+....+9\times 10^{1000}$ et comparer les deux (j'ai pu calculer la valeur du nombre d'or avec 20000 décimales en une petite poignée de minutes, alors les calculs de S1 et S2, c'est basique à côté.)

S=9+90+90...=limite(S1)

 
Je n'ai pas écrit ça...
Mais que la limite de $S=9+90+900+ 9\times 10^n$ quand n tend vers $+\infty$ était $+\infty$....
Le mot limite tout seul ne veut rien dire.
Je parle de limite quand n tend vers +oo...
Comme je ne sais pas ce que vaut +oo (à part ça que c'est très grand...) je ne peux pas écrire de valeur chiffrée de S1 tant que je n'ai pas de valeur précise pour n.
Je me suis donc simplement demandé quel était le comportement de S1/S2 quand n devenait de plus en plus grand, c'est à dire quelle était la limite (si elle existe) du quotient S1/S2 quand on faisait tendre n vers +oo...
Et j'ai vu que la limite S1/S2 était $\dfrac{\infty}{\infty}$ quand n tendait vers +oo et que $\dfrac{\infty}{\infty}$ était une forme indéterminée, donc qu'il fallait "lever l'indétermination" pour  connaître cette limite...
Alors, as-tu levé l'indétermination ? (Je connais la réponse !).

J'ai écrit la valeur de S1 et de S2 en fonction de n et les formules établies sont in-con-tes-tables.
Je peux te refaire tous les calculs de façon naïve en faisant les additions et avec les formules.

Pour n=10, je t'ai montré que $\dfrac{S1}{S2}<\dfrac{10}{99}$.
Je peux recommencer pour n=20.
Méthode naïve (avec des boucles)

>>> S1,S2=0,0
>>> n=20
>>> for i in range(21):
  S1+=9*10**i
  S2+=100**i

>>> S1
999999999999999999999
>>> S2
10101010101010101010101010101010101010101
 

N-B : en Python les boucles démarrent à 0 (sauf indication contraire), et pour m'arrêter à 20, je dois spécifier 21, sinon si j'écris 20, il s'arrête à 19...
Il a été créé comme ça, y a pas de lézard...

Méthode avec les formules :

>>> S1,S2=0,0
>>> S1=10**(n+1)-1
>>> S1
999999999999999999999
>>> S2
Fraction(10101010101010101010101010101010101010101, 1)
 

Ou encore
S2=10101010101010101010101010101010101010101
Mêmes résultat avec les formules que par le calcul naïf...

Et maintenant ?
Maintenant, toi tu as prétendu (post #10) :

Et j'obtiens 10/99 pour tout série capable de créer 99999999... et 1010101010... le rapport   1010101010.../99999999...=10/99.

Je t'invite à comparer S1/S2 quand n=10 et S1/S2 quand n=20, il est où ton 10/99 ?

Plus n est grand et plus le rapport S1/S2 est petit...
En d'autres termes, le rapport S1/S2 tend vers 0 quand n tend vers $+\infty$ et ça tu l'aurais vu en "levant l'indétermination".
Au passage, 0/0 est aussi une forme indéterminée, contrairement à ce que tu as pu écrire post#20)

@+


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