fonction réciproque d'une fonction à plusieurs variables.

Pierre.A · 09-01-2021 16:51:14

Bonjour,

Je sollicite votre aide concernant une question que je me pose:
Voici mon problème:
Soit La fonction f définie de ℝ sur ℝ² par f(x)=(x,x²).
Sa fonction réciproque f^-1 est elle définie de ℝ² sur ℝ² par f^-1 (x,x2)= (x,±√x)?
Dans ce cas, nous avons f^-1(f(x)) ≠ x. Est ce possible?

Merci par avance pour votre aide.

valoukanga · 09-01-2021 16:54:54

Bonjour !

Ici ta fonction $f$ est de $\mathbb R$ dans $\mathbb R^2$. S'il y a une fonction réciproque, alors $f^{-1}$ serait de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$ d'où ton problème d'égalité. Un autre problème est que ta fonction n'admet tout simplement pas de réciproque qu'elle n'est pas bijective.

Pierre.A · 09-01-2021 17:12:40

Bonjour valoukanga,

f n'est pas injective. Un élément de l'ensemble d'arrivée peut avoir plusieurs antécédents par R.
Par exemple 4 peut avoir 2 et -2 comme antécédent.
Donc f n'est pas une bijection et f^-1 n'existe pas.C'est cela?
Merci

Zebulor · 09-01-2021 18:16:29

Bonsoir,
pas tout à fait..valoukanga cherche à t'expliquer que s'il y avait une fonction réciproque $f^{-1}$, elle ferait correspondre à un élément de $\mathbb R^{2}$ un élément de $\mathbb R$ or dans ton post 1 tu fabriques une fonction $f^{-1}$ de $\mathbb R^{2}$ dans lui même, ce qui est différent.

Chlore au quinoa · 09-01-2021 18:18:09

Salut !

Attention !!! 4 ne peut pas être une image de quoi que ce soit par $f$, car $4 \notin \mathbb{R}^2 $.

La raison pour laquelle f n'est pas injective est le lien qu'il y a entre $x$ et $x²$. Par exemple $(1,2)$ ne sera jamais atteint.

Gare aux ensembles de départ et d'arrivée !

Adam

Zebulor · 09-01-2021 18:24:16

re,
Oui, Chlore au quinoa, par contre je dirai plutôt que le fait que $(1,2)$ n'est pas atteint montre que $f$ n'est pas surjective : il existe au moins un élément de l'ensemble d'arrivée qui n'a pas d'antécédent par $f$.
Et sauf erreur de ma part $f$ est injective.. parce que les images par $f$ de deux éléments distincts de ℝ sont bien deux couples distincts de ℝ²

Dernière modification par Zebulor (09-01-2021 18:34:09)

Chlore au quinoa · 09-01-2021 18:37:30

Ah oui quand même j'en suis là ^^ oupsi on va dire que ça arrive même aux meileurs...

$f$ est bien injective, et même bijective de $\mathbb{R}$ sur $E=\left\{(x,x²), x\in \mathbb{R}\right\}$.

Dans ce cas une réciproque serait donnée par $f : ... \rightarrow ... $

... $\to$ ...

Une fois que tu auras les ensembles tu auras tout trouvé.

[edit] Merci Zebulor ça m'apprendra à vouloir aller trop vite...

Dernière modification par Chlore au quinoa (09-01-2021 18:38:48)

Zebulor · 09-01-2021 18:58:26

@Chloreauquinoa : je t'en prie, mais tu tiens à tout prix à ce que $f$ soit bijective ?

Chlore au quinoa · 09-01-2021 19:56:50

Pas spécialement, c'est pour construire la réciproque de notre ami ! De toute façon toute fonction injective est bijective sur son image donc ça change pas grand chose

Pierre.A · 09-01-2021 22:00:34

Bonsoir à tous,

Merci pour vos messages mais je suis un peu perdu.
f n'est pas une bijection puisque (1,2) par exemple n'a pas d'antécédent dans R (cf #5 de Chlore au quinoa).
Pourtant Chlore au quinoa, tu sembles dire qu'il existe bien une fonction réciproque (#7);
Comment est ce possible si f n'est pas bijective?
et quelle serait elle?
Encore merci

Encore merci

Chlore au quinoa · 09-01-2021 22:06:09

Elle n'est pas bijective sur $\mathbb{R}²$ mais elle l'est sur l'ensemble que je t'ai donné. Et justement construis-la cette bijection ;)

Pierre.A · 09-01-2021 22:26:10

Re,

Je comprend que l'ensemble de départ par f est R , l'ensemble d'arrivée E= {(x,x²), x ∈ R}.
et la fonction réciproque serait (x, x²) ∈ E -> x ∈ R.
C'est cela?
Merci.

Chlore au quinoa · 09-01-2021 22:29:18

L'idée est là, tu as compris. Juste l'écriture serait plutôt $(x,y) \mapsto x$ , pas de calcul dans les variables de départ !

Pierre.A · 09-01-2021 22:41:13

oui mais y=x²; Il faut le préciser non?
et alors, on peut écrire pour une partie A de R: f^-1(f(A)) = A ?

Chlore au quinoa · 09-01-2021 22:57:21

Oui ici $y=x²$ mais tu vas pas dire que la bijection réciproque de $x \mapsto x²$ sur $\mathbb{R}_+$ c'est $x² \mapsto x$ je sais pas si tu vois la subtilité. Les variables de l'ensemble de départ dans la définition d'une application doivent êtres "nues" ! J'espère être clair et te faire voir pourquoi !

Pierre.A · 09-01-2021 23:05:51

ok.Je pense avoir compris.
Du coup, on peut écrire f-1(f(A)) = A comme pour une fonction à une seule variable réelle?

Chlore au quinoa · 09-01-2021 23:07:22

Euh si $f^{-1}$ existe et si $A$ est l'ensemble de définition de $f$ oui bien sûr !

Pierre.A · 09-01-2021 23:12:11

Oui, pardon, je n'ai pas précisé que A était l'ensemble de définition.
En tout cas, pour la fonction f définie sur A (une partie de R) par x->(x,x²), on a bien f-1(f(A)) = A.

Zebulor · 10-01-2021 12:19:47

re,
@PierreA : en considérant $E=\left\{(x,x²), x\in \mathbb{R}\right\}$ et $A$ n'importe quelle partie de $\mathbb{R}$, y compris $A=\mathbb{R}$, ton application $f : A \rightarrow E$ qui à $x$ associe $(x,x^2)$ est bijective et vérifie bien $f^{-1}(f(A)) = A$.
Par contre l'application $f$ que tu as définie au post 1 n'est pas bijective.

J'en rajoute une couche : $f : A \rightarrow E$ est une surjection par construction. $f(A)=E$ ne fait que traduire le fait que tout couple $(x,x²)$ a au moins un antécédent $x$ dans $\mathbb{R}$. Mais comme $f$ est injective tout couple $(x,x²)$ a aussi au plus un antécédent $x$. Finalement tout couple de $E$ a exactement un antécédent. $f : A \rightarrow E$ est donc une bijection.

Ces notions là ne sont pas simples à assimiler..

Dernière modification par Zebulor (11-01-2021 09:40:07)

Pierre.A · 10-01-2021 23:16:21

Merci Zebulor.

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fonction réciproque d'une fonction à plusieurs variables.

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