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1515Bob

Invité

Equation avec complexe [Résolu]

Bonjour,

J'ai à résoudre dans C l'équation d'inconnue z:

[tex]z^2 + 2\bar z = -1 [/tex]

j'ai résolu ça en posant z = a + ib

ce qui me donne a²-b²+2a + i(2ab-2b) = -1

j'en déduis  a²+2a-b²=-1  et b(2a-2) = 0

d'ou les sols  z = -1
et z=1/2+3/2i  et  z=1/2-3/2i

la question est: y-a-il un autre moyen de résoudre cette équation en z sans passer par la "décomposition" de z en a + ib  ???

Merci d'avance de votre aide

NB: C'est presque plus dur d'utiliser Latex pour faire le z bar que de faire l'exo ! ;-)

Au plaisir de vous lire
Votre bob dévoué

yoshi

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Re : Equation avec complexe [Résolu]

Bonjour François-Bob 1er,

1. Je me suis permis de retoucher ton code Latex pour le rendre plus lisible,
2. J'ai corrigé une faute de frappe : il y avait un é à la place d'un 2 (taperais-tu via un portable ?)
3. Non, je ne crois pas qu'il y ait de solutions plus courtes. Sinon, d'autres méthodes, probablement. Je vais voir ça...
4. Tes calculs me paraissent entachés d'une erreur.
En effet, avec 2ab-2b = 0, on obtient 2 solutions, b = 0 et a = 1
* Si b = 0, alors a = -1 et donc, z = -1, d'accord..
* Mais, si a = 1, alors on peut écrire 1 + 2 - b² + 1 = 0, soit b² - 4 = 0; J'ai donc deux solutions b = 2 et b = -2;
Soit z' = 1 + 2i et z" = 1 -2i...
Au passage :
[tex]{1 \over 2}+ {3 \over {2i}}= {1 \over 2}- {3 \over 2}i\;\text{et}\;{1 \over 2}-{3 \over {2i}}= {1 \over 2}+{3 \over 2}i[/tex]
C'est plus zouli comme ça...
Donc, on obtient :
[tex]z^2 + 2\bar z=\left({1 \over 2}- {3 \over 2}i\right)^2 +2\left( {1 \over 2}+{3 \over 2}i\right)={1 \over 4}-{3 \over 2}i+{9 \over 4}+1 +3i=-1+{3\over 2}i[/tex]

Donc erreur !

@+

Bob

Invité

Re : Equation avec complexe [Résolu]

Bonjour Yoshi,

effectivement je me suis trompé j'ai pris a=1/2  aulieu de a=1 pour annuler 2a-2=0  !!!!!

en écrivant z=1/2+3/2i  je voulais dire 1/2 +i(3/2) ....

peux-tu me donner le code latex (sans mettre les balises tex) pour écrire si joliment la ligne z² = ... = -1

Merci

Au plaisir de vous lire
Votre Bob dévoué

yoshi

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Re : Equation avec complexe [Résolu]

Bonjour,

Je n'ai pas vérifié, mais tu dois avoir un bouton Editer ou modifier... Ah, comme invité, peut-être pas, finalement !
Sinon bin, les balises tex encadrent la formule complète, et la puissance c'est "ALT GR" et 9 : ^2..; C'est tout.

Quant à l'oubli de parenthèses, j'y avais pensé, mais comme il y avait une autre erreur, je n'ai pas édité mon message.

@+

yoshi

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Re : Equation avec complexe [Résolu]

Re,

Bon, je me suis obstiné et j'ai trouvé quelque chose dont le niveau de simplicité est (de mon point de vue) supérieur à ce que tu as fait.
Je pose :
[tex]Z=z^2+2\bar z\;[/tex] d'où il vient : [tex]\;\bar Z={\bar z}^2+2z[/tex]
On a donc [tex]Z = \bar Z = -1[/tex]

Et je calcule :
[tex]Z-\bar Z=z^2-{\bar z}^2-2(z-\bar z)=(z-\bar z)(z+\bar z -2)=0[/tex]
Il y a donc 2 solutions :
[tex]z = \bar z\;[/tex]  et [tex]\;z+\bar z=2[/tex]
Dans le premier cas, on retrouve z = -1.
Dans le 2e cas, on remplace dans l'équation de départ :
[tex]z^2+2(2-z)+1=0[/tex]
Soit :
[tex]z^2-2z+5=0[/tex]
D'où les solutions :
[tex]z_1=1+ 2i\\ z_2= 1-2i[/tex]

Voilà. Des remarques ?

@+

PS
Voici le code Latex (sans les balises qui l'encadrent) pour la ligne en dessous de la phrase "Je calcule" :
Z-\bar Z=z^2-{\bar z}^2-2(z-\bar z)=(z-\bar z)(z+\bar z -2)=0

john

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Re : Equation avec complexe [Résolu]

Hello yoshi,
La bouteille trouvée sur la plage est débouchée, une fumée noire s'en échappe... et le grand yoshi enfin LIIIIBRE !!! peut donner toute sa mesure.
Très joli #5 (si je puis me permettre ce commentaire).
A+

ybebert

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Re : Equation avec complexe [Résolu]

Joli le #5  mais pour ma part je ne comprends pas le [tex]Z = \bar{Z} = -1 [/tex]

A+

john

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Re : Equation avec complexe [Résolu]

Salut ybebert,

Vrai que la manière dont c'est écrit choque un peu , car il n'est pas dans les habitudes de yoshi de nous pièger.
La grosse astuce : Si Z est réel (puisque Z = -1) alors   [tex]\bar Z[/tex]   l'est aussi.

A+

ybebert

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Re : Equation avec complexe [Résolu]

Salut à toi John et merci pour l'explication...

vraiment joli cette résolution de Yoshi !

A+

yoshi

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Re : Equation avec complexe [Résolu]

Salut,

Merci Messieurs...
Au vu des solutions trouvées, j'ai été persuadé après un certain temps de réflexion qu'il DEVAIT y avoir une solution "élégante", surtout qu'il s'agissait de complexes...

Ce n'est pourtant que ce matin, en remettant le nez proprement dans le bouquin de TS que j'ai eu l'idée ('l'illumination ?).

@+

PS

Je n'ai cherché à piéger personne....