Forum de mathématiques - Bibm@th.net

nanou13

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Calcul d'intégral pour centre de gravité

Bonjour à tous,

Je souhaite calculer le centre de gravité de l'aire sous la courbe sur le schéma ci-joint.

https://ibb.co/b5tBDXW

La partie parabolique a pour équation :

[tex]y=1-{(1-x)}^{n}[/tex] n un entier pouvant valoir 2, 3 ou 4.

Et en exprimant x en fonction de y nous avons:

[tex]x=1-(1-y)^{\frac{1}{n}}[/tex]

Je calcule le centre de gravité à l'aide d'intégrale de la manière suivante: (ce qui revient à travailler sur de petits rectangles d'aire (x.dy) ou (y.dx) et de centre de gravité x/2 ou y/2 selon la coordonnée recherchée).

[tex]xG=\frac{\int_{y}^{}{x/2.xdy}}{\int_{x}^{}{y.dx}}[/tex]

[tex]yG=\frac{\int_{x}^{}{y/2.ydy}}{\int_{x}^{}{y.dx}}[/tex]

Sur mon schéma, les valeurs de x1, y1, et x2 sont connues.

Ma problématique est que je ne parviens pas à retrouver la valeur xG de la partie hachurée en rouge ce qui fausse le calcul final. Sur ce morceau,  je trouve l'équation suivante:

[tex]x=1-(1-y)^{\frac{1}{n}}+x1[/tex]

Je calcule ensuite l'intégrale en élevant l'expression ci-dessus au carré, mais le résultat est faux. Je ne parviens pas à voir ce qui cloche..

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Calcul d'intégral pour centre de gravité

Salut,

Je doute que tu aies une réponse.
En effet, l'adresse suivante https://ibb.co/b5tBDXW  est erronée
1. Un clic déclenche l'erreur suivante
   

Cette page n'existe pas

La page demandée n'a pas été trouvée

   La revoici,  sans les balises url : https://ibb.co/b5tBDXW...
   J'ai donc testé avec https://ibb.com/5tBDXW
2. Après la réponse à la question sur les cookies, nouvelle erreur...

Sais-tu que le bouton Prévisualisation permet de vérifier que tout est correct à l'affichage ?
Il faut en user sans modération et vérifier également que tout lien aboutit bien...

Maintenant, peut-être, que quelqu'un pourra se débrouiller quand même : je l'espère pour toi...

      Yoshi
- Modérateur -

Dernière modification par yoshi (25-07-2020 06:37:49)

nanou13

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Re : Calcul d'intégral pour centre de gravité

Bonjour,

Ahh Zut!!! Je l'avais pourtant visualiser mais le lien ne fonctionne plus..et je n'avais pas bien compris comment insérer l'image.
Voici donc le schéma en espérant que le message ne passera pas à la trappe:

Merci beaucoup pour ton retour

Dernière modification par yoshi (25-07-2020 10:16:25)

Black Jack

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Re : Calcul d'intégral pour centre de gravité

Bonjour,

Tu peux calculer ainsi :

[tex]x_G = \frac{\int_{x_1}^{x_2} x.\sqrt{1 + f'^2(x)}\ dx}{\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + f'^2(x)}\ dx}  [/tex]

[tex]y_G = \frac{\int_{x_1}^{x_2} f(x).\sqrt{1 + f'^2(x)}\ dx}{\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + f'^2(x)}\ dx}  [/tex]

avec [tex]f(x) = 1 - (1-x)^n[/tex]

[tex] f'(x) = (1-x) ^{(n-1)}[/tex]

...

C'est un peu laborieux mais tu peux confier les calculs à un logiciel approprié.

nanou13

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Re : Calcul d'intégral pour centre de gravité

Bonjour Black Jack et merci beaucoup d'avoir répondu

Cependant je ne comprends comment tu arrives à ce résultat pour xG et yG; d'où provient la racine?

Par ailleurs j'ai essayé le calcul dans le cas où j'ai une fonction affine entre 0 et 1 et non plus une parabole. La partie hachurée en rouge est alors un triangle et je retrouve bien la position du centre de gravité pour un triangle...
En revanche en appliquant cette même méthode à mon problème actuel, je ne retrouve pas la position du centre de gravité d'une parabole.
Par exemple, en prenant n=2, x1=7/31 et y1=385/961, je devrais trouver xG= (3/8)*(1-7/31)=9/31
Or je trouve 51/31..

Merci d'avance pour votre aide

Black Jack

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Re : Calcul d'intégral pour centre de gravité

Bonjour,

Désolé, j'ai donné la formule pour calculer la position du centre de gravité de la courbe pesante et pas de l'aire ....

Je recommence :

Ton dessin du dernier message ne correspond pas à celui du 1er message.

A partir du dessin du 1er message :

Je vais juste calculer xG par la partie en rouge (entre x1 = 7/31 et 1)

Ici :

f2(x) = 1 - (1-x)^n
f1(x) = 385/961

xG = Int(de x1àx2) [x * ((1 - (1-x)^n)- 385/961)] dx / Int(de x1àx2) [1 - (1-x)^n - 385/961] dx

Avec x1 = 7/31 ; x2 = 1 et n = 2

xG = Int(de 7/31à1) [x * ((1 - (1-x)²)- 385/961)] dx / Int(de 7/31à1) [1 - (1-x)² - 385/961]

xG = 22/31
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