Forum de mathématiques - Bibm@th.net

martiflydoc

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Norme 2

Bonjour,

Considérons E un euclidien (réel) de dimension n.
Si on considère un vecteur X de la forme X = (x1,....,xn) dans la base canonique,
et de la forme X = (<x1,u1>,.....,<xn,un>) où les (ui)  forment une base orthonormée de E,
la norme 2 (et plus généralement une norme quelconque) de X  reste-t-elle la même ?

Autrement dit, la norme demeure-t-elle conservée après changement de base ?

Merci

Fred

Administrateur

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Re : Norme 2

Bonjour,

  La norme 2 sera conservée, mais a priori pas les autres normes.
La norme 2 est conservée, car c'est une norme "intrinsèque" à l'espace euclidien. Elle est définie uniquement en utilisant le produit scalaire de cet espace, et c'est un moyen pratique d'utiliser la somme du carré des coefficients dans une base orthonormée pour la calculer.
Les autres normes dépendent vraiment de la base dans laquelle tu travailles. Elles ne sont pas invariantes par un changement de base orthonormé (car elles n'ont rien à voir avec le produit scalaire).

F.

Roro

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Re : Norme 2

Bonsoir,

Si tu écris $\|Au\|^2 = \langle Au, Au \rangle = \,^T\!u \,^T\!A A u$ alors tu remarqueras que $\|Au\| = \|u\|$ dès que $^T\!A A=\mathrm{Id}$.

Roro.

P.S. Grillé par Fred ! Tu remarqueras d'ailleurs que j'ai utilisé le produit scalaire associé à ta norme. C'est ce qu'évoque Fred : ça marche bien parce que c'est la "bonne" norme.

Dernière modification par Roro (01-03-2020 21:48:05)

martiflydoc

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Re : Norme 2

Merci !