Carrés de $\mathbb Z/7 \mathbb Z$

valoukanga · 01-03-2020 17:02:02

Bonjour à tous !

Je suis en train de faire un exercice d'algèbre, et je bloque un peu...

Voici l'énoncé :

1. Donner la liste des éléments de $\mathbb Z/7 \mathbb Z$ qui sont des carrés. Combien y'en a-t-il ?
2. Soit $a$ un élément $\mathbb Z/7 \mathbb Z$. Quel est le cardinal de l'ensemble $\{-x^2+a\}$, où $x$ parcourt $\mathbb Z/7 \mathbb Z$ ?
3. En déduire que, pour un $a$ donné dans $\mathbb Z/7 \mathbb Z$, l'équation $x^2+y^2=a$ a toujours une solution, où $x,y$ sont dans $\mathbb Z/7 \mathbb Z$.
4. Donner une solution explicite de l'équation $u^2+v^2 \equiv -1~(\text{mod}~7)$.

Voilà ce que j'ai déjà fait :

1. 0, 1, 2 et 4 sont les carrés de $\mathbb Z/7 \mathbb Z$ (j'ai fait une table de congruence). Il y a donc 4 carrés.
2. J'ai dit que : $\text{Card}\, \{x^2\}_{x \in \mathbb Z/7 \mathbb Z} = \text{Card}\, \{-x^2\}_{x \in \mathbb Z/7 \mathbb Z} = \text{Card}\, \{-x^2+a\}_{x \in \mathbb Z/7 \mathbb Z} = 4$. Je ne sais pas trop si c'est juste ou si c'est suffisant, mais ça me paraît assez logique...
3. C'est à partir de là vraiment que je bloque. Je ne vois pas trop le lien avec les questions précédentes.

Merci d'avance pour votre aide !

Valentin

Dernière modification par valoukanga (01-03-2020 17:35:26)

Maenwe · 01-03-2020 19:25:07

Bonjour,
C'est un joli exercice je trouve ! La question sur laquelle tu bloques en particulier.
Je vais te guider : C'est une question de remplissage... Imaginons que tu ais un récipient contenant 11 mètres cube d'un mélange composé d'eau et d'huile, et tu sais qu'il y a 6 mètres cubes d'huile dans ce mélange, peux tu récupérer de ce mélange 6 mètre cube d'eau pure ?
Ou encore :
Tu as un bouquet de 11 fleurs, et tu sais qu'il y en a 6 parmi elle qui sont bleues, que peux tu dire d'un ensemble quelconque constitués de six fleurs choisis parmi ces 11 fleurs ?

valoukanga · 01-03-2020 19:46:48

Bonsoir,

Merci de ta réponse !

En ce qui est de ton aide sur les fleurs, je vois juste que si je choisis 6 fleurs, je sais forcément qu'il y en a une qui est bleue. Mais le lien avec l'exercice est encore un peu trop caché...

Valentin

P.S. : L'exercice vient d'une annale de partiel de Paris-Sud.

Maenwe · 01-03-2020 20:00:45

Tu n'as compris aucune des deux analogies ?

valoukanga · 01-03-2020 20:11:10

Si si, je les ai comprises, mais j'ai du mal à voir le lien avec la question. Tes analogies suggèrent qu'il faut séparer les cas où $x^2 = 0,1,2$ et $x^2 = 4$ (les premiers avant la moitié de 7, et le reste après), mais je ne vois pas trop...

Maenwe · 01-03-2020 20:16:08

Donc tu n'as pas compris les analogies ^^ c'est pas grâve, je vais être un peu plus "concret" : tu as deux ensembles, un premier que l'on va définir ainsi : $C := \{ c \in \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, \exists x \in \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, c=x^2 \}$ et un deuxième $Y := \{-x^2+a, x \in \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \}$.
On a $Card (C) = Card (Y) = 4$ et $Card ( \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}) = 7$. Est-ce que tu vois le liens avec mes deux énigmes maintenant ?

Dernière modification par Maenwe (01-03-2020 20:18:44)

valoukanga · 01-03-2020 20:24:17

D'accord. Donc là, si je suis bien, les ensembles $C$ et $Y$ correspondent à l'huile et l'eau. Le problème, c'est que je ne vois pas comment on traduit le fait de prendre 6 litres de mélange, ou tirer 6 fleurs.

En revanche, je vois que si je prends $c = x^2 \in C$ et $(-y^2 + a) \in Y$, tel que : $c = -y^2+a$, j'obtiens : $x^2+y^2=a$.

Maenwe · 01-03-2020 20:42:58

Pas exactement, $C$ c'est l'huile et $Y$ c'est un volume de liquide quelconque que tu retires du mélanges initiale, comme tu l'as dit le le volume quelconque que l'on retire ($Y$) contient nécessairement de l'huile car il ne peut pas ne pas contenir d'huile (car il y en a trop).
Essaye de retraduire ça en formulation ensembliste (intersection, union, etc.).
La preuve de tout ceci se fait exactement de la même manière que pour les fleurs ou les liquides.

valoukanga · 01-03-2020 20:49:32

Faudrait-il que je montre que : d'une part, $C \not\subset Y$ et d'autre part $Y \not\subset C$ ? Ensuite comme $C$ et $Y$ sont des parties de $\mathbb Z /7 \mathbb Z$ de cardinal 4, on a nécessairement $C \cap Y \neq \emptyset$, d'où l'existence d'une solution.

Dernière modification par valoukanga (01-03-2020 20:50:57)

Maenwe · 01-03-2020 21:28:11

Tu as la réponse sous les yeux ^^ Tu n'as pas besoin de montrer que $C \not \subset Y$ ou $Y \not \subset C$ (d'ailleurs je ne sais même pas si ça c'est vraie), tout ce qui nous intéresse c'est que $C \cap Y \not = \emptyset$, en fait c'est équivalent, $x^2+y^2=a$ possède une solution si et seulement si $C \cap Y \not = \emptyset$.
Et l'argument que $C \cap Y$ n'est pas vide est le même que pour les fleurs ou l'huile : il y a beaucoup trop de carré dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ pour qu'il ne s'en trouve pas dans $Y$.

valoukanga · 01-03-2020 21:44:35

D'accord, merci. Cependant, je ne vois pas comment montrer $C \cap Y \neq \emptyset$. En fait, il me semble que juste que l'argument des cardinaux ne marche pas, si ?

valoukanga · 01-03-2020 21:50:37

Correction : Après quelques minutes de réflexion, ça marche !

Merci beaucoup Maenwe !

Bonne soirée.

Maenwe · 01-03-2020 21:54:52

Avec plaisir ! J'espère que tu auras vraiment compris l'idée derrière tout ça, ça pourrait être intéressant de la re-exploiter dans d'autres problèmes !

Dernière modification par Maenwe (01-03-2020 21:55:15)

valoukanga · 01-03-2020 21:55:57

Oui j'ai compris l'idée (et tes métaphores bien trouvées) ! Ça me prendra encore du temps pour penser à la ré-utiliser, mais ça devrait le faire !

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