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Check Emath

Invité

démonstration de formule ? [Résolu]

Bonjour à tous ,

Aujourd'hui je suis confronté à une question plutôt saugrenue venant de notre professeur.
Elle  consiste à démontrer une formule de type géométrique calcul d'aire (b+B)xh /2 .
Je n'en comprends pas trop le sens dans la mesure que ce type de formules sont de type " on sait que "( entre nous , c'est vrai ça prouve quoi ? on y était pas !) .
Mais je ne peux pas tout de même lui faire une expérience avec un solide et du liquide sur papier.
Qu"en pensez-vous , est-ce bien raisonable ?

Check Emath

galdinx

Modo gentil

Inscription : 21-06-2006

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Re : démonstration de formule ? [Résolu]

Salut,

De mémoire, (b+B)*h/2 est la formulaire de calcule d'aire d'un trapeze.

Pour le démontrer, pas besoin de grands ébats, seul la connaissance de la formule de calcul d'aire d'un triangle rectangle et d'un rectangle suffit.

Pour cela on fait le petit shéma suivant.

Soit A l'aire totale du trapeze ;

A = a*h/2 + b *h + c*h/2 = a*h/2 + b*h/2 + b*h/2 + c*h/2 = (a*h/2 + b*h/2 + c*h/2) + b*h/2
   = (a+b+c)*h/2 + b*h/2 = B*h/2 + b*h/2 = (B+b)*h/2

voila, j'espère que ca te conviendra...

+++

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : démonstration de formule ? [Résolu]

Bonjour,

Si tu veux (mais t'es pas obligé : cf post de Galdinx) faire des constructions, tu peux la jouer comme ci-dessous.
En effet je retrouve les aires de toutes les figures usuelles (sauf le disque, of course !), à partir de l'aire du rectangle seule.
Je commence par construire un trapèze de petit base b, de grande base B, et de haueur h, puis un deuxième que je fais pivoter de 180° à partir su sommet inférieur droit et je l'accole au 1er trapèze.
J'ai maintenant un parallélogramme. Je lui coupe maintenant le triangle rectangle à gauche que je fais pivoter de 180° et que j'accole au morceau restant à droite.
J'ai donc maintenant un rectangle de Longueur (B + b) et de largeur h...

Je calcule l'aire du rectangle qui est est (B + b) x h
Et comme j'ai utilisé deux trapèzes l'aire dudit trapèze est [tex]\frac{(B + b)\times h}{2}[/tex]

Mais je peux aussi écrire l'aire du trapèze ainsi :  [tex](B + b)\times {h \over 2}[/tex]
Ecrite ainsi, la formule répond au découpage collage suivant :
Je trace la "base moyenne" du trapèze, c'st à dire le segment qui joint les milieux des deux côtés non parallèles et je coupe le trapèze en deux le long de ce segment, je fais pivoter la moitié supérieure autour du milieu du côté droit et j'obtiens un parallélogralle de hauteur h/2, que je découpe comme le précédent pour tomber sur un rectangle...

Troisième possibilité (mais si ! mais si !) je peux écrire l'aire ainsi :   [tex]\frac{(B + b)}{2}\times h[/tex]
Je re-trace ma base moyenne qui a pour longueur (B + b)/2.
je trace et coupe chacun des triangles rectangles obtenus en traçant la perpendiculaire à la grande base passant chacun de mes deux milieux:
Je fais pivoter de 180°, chacun de mes deux triangles rectangles autour des milieux
Je tombe sur un rectangle de largeur h et de longueur (B + b)/2

Tu peux te préparer à chaque fois un trapèze sur une feuille de papier et un autre (son clone) déjà découpé pour ajouter les morceaux nécessaires et un bâton de colle... Tu auras un franc succès, j'en suis sûr...

@+

Check Emath

Invité

Re : démonstration de formule ? [Résolu]

Merci à vous les Modos,
Au moins il y en a deux qui suivent .

C'est bien ce que je pensais on ne peux la démontrer qu'en faisant un peu de travaux pratiques .
Mais je crois que sa question était axée sur la démonstration général d'un formulaire "accépté "comme valide ,qu'on appliquerais les yeux fermés en utilisant la méthode "il n'y a plus rien à prouver , ou la phrase bateau du type , je vous fais confiance : on sait que ! , alors que pour tout autres problèmes on doit à chaque fois démontrer , curieux , non ?
Bon week-end .

john

Membre actif

Inscription : 10-02-2007

Messages : 543

Re : démonstration de formule ? [Résolu]

Hello,
Un peu tardive cette réponse, mais l'aire d'un trapèze est aussi la différence des aires de 2 triangles. Et dans ce cas, il n'y a pas besoin de ciseaux papier, crayons de couleur, gomme et colle pour faire la démonstration.
A+