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jojodu78

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Suites, convergence

Bonjour

J'aurai besoin d'un peu d'aide car je suis bloqué sur mon exercice. Voici l'énoncé:

On considère les suites (un) et (vn) définies pour tout entier naturel n par: u0=1   v0=6     [tex]u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}[/tex]  [tex]v_{n+1}=\frac{u_n+4v_n}{5}[/tex]

Voici les questions:

1. Soit [tex](w_n)[/tex] définies pour tout entier n par: [tex]w_n=v_n-u_n[/tex]
a. calculer u1, v1, w0, w1
Cela donne [tex]u1=\frac{7}{2}[/tex]    v1=5      w0=5     [tex]w1=\frac{3}{2}[/tex]
b. Montrer que que la suite (wn) est géométrique. Préciser sa raison
Pour cela j'ai fait une démonstration en mettant en relation wn+1 et wn. J'ai trouvé une raison [tex]q=\frac{3}{10}[/tex] .
c. Quelle est sa limite? Justifier
On a [tex]w_n=5\times 0.3^ n[/tex] et [tex]\lim\limits_{n \to +\infty}0.3^n=0[/tex]  car q<1 donc [tex]\lim\limits_{n \to +\infty}w_n=5 \times 0=0[/tex] donc [tex]\lim\limits_{n \to +\infty}w_n=0[/tex].

2. Montrer que $u_n<=v_n$.
3. Déterminer alors le sens de variation des suites (un) et (vn).
4. Les suites (un) et (vn) convergent-elles.

Voilà, à partir de la question 2 je sèche complètement. Pouvez-vous m'aider?
Merci

semurel

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Re : Suites, convergence

En remarquant que [tex]u_n\leq v_n[/tex] est équivalent à [tex]0\leq v_n-u_n=w_n[/tex]

Pour le reste,je te laisse réfléchir, mais cela sent très fortement des suites adjacentes

Dernière modification par semurel (24-10-2018 14:58:27)

Fred

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Re : Suites, convergence

Bonjour

  Pour la question 2 as tu pensé à procéder par récurrence ?

F

yoshi

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Re : Suites, convergence

Bonjour,

Q1 c'est juste, tu n'en doutais pas...
Info la "puissance" c'est le ^ accessible par AltGr + 9...

Pour la Q2
Pars de $w_n$ : $w_n = 5\times 0.3^n$ et n'est donc composée que de termes positifs ou nul (elle tend vers 0)...
Or [tex]w_n=v_n-u_n[/tex]...
La suite, si j'ose dire, coule de source...
On pouvait faire un poil plus "compliqué" avec une récurrence...

Q3 Calcule $u_{n+1}-u_n$ et $n_{n+1}-v_n$ et exprime les résultats en fonction de $w_n$ dont tu sais qu'il est positif ou nul quel que soit n... tu auras alors établi la croissance/décroissance des deux suites

Q4 As-tu vu la définition de suites adjacentes ? C'est le cas de $u_n$ et $v_n$ .
Si non, pas grave..
Une suite croissante majorée converge...
Une suite décroissante minorée converge...
A quoi sert donc d'avoir montré que [tex]\forall n \in \mathbb{N},\;u_n\leqslant v_n[/tex] ?
Bin, à établir la majoration/minoration souhaitée...
Puisque c'est vrai quel que soit n alors : [tex]u_n\leqslant v_0[/tex]  et  [tex]u_0\leqslant v_n[/tex]

@+

[EDIT] comme d'hab, je prends trop de temps... grillé par Fred
Et j'ai même été grillé par semurel !

Dernière modification par yoshi (24-10-2018 15:18:06)

jojodu78

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Re : Suites, convergence

Merci à tous pour vos réponses.