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Hamza BAQQAL

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DL logique

bonjour je veut une indication au sujet de cet exercice:

soit a⋹ℕ   montrer que: √(a²+√(4a²√(16a²+8a²+3)))  ∉ℕ

merci beaucoup

yoshi

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Re : DL logique

Bonsoir,

(16a²+8a²+3) Pas d'erreur ici ? Bizarre... Alors pourquoi écrire 16a²+8a² et non 24a² ?
Ce n'est pas plutôt 16a²+8a ?

@+

Hamza BAQQAL

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Re : DL logique

bonjour yoshi 

je m'excuse car il y a un petit faute
soit a⋹ℕ   montrer que √(a²+√(4a²√(16a²+8a+3)))  ∉ℕ

merci beaucoup

Dernière modification par Hamza BAQQAL (23-10-2018 11:00:07)

semurel

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Re : DL logique

Je ne suis pas sûr d'avoir la solution mais supposons que l'expression de départ soit un nombre entier. Cela veut dire que ce qu'il y a sous la racine est le carré d'un nombre entier.
[tex]a²+\sqrt{4a²\sqrt{16a²+8a²+3}}[/tex] doit donc être le carré d'un nombre entier.
En ainsi de suite... A la fin on doit aboutir à une contradiction

freddy

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Re : DL logique

Salut,

je reformule : soit $a \in \mathbb{N}$, montrer que $\sqrt{a^2+\sqrt{4a^2\sqrt{16a^2+8a+3}}}$ n'est pas entier.

On est d'accord ?

Si oui, semurel a une bonne idée.

Autre idée : comment est a ? Si a peut-être nul, que dire ?

Question : il faut le prouver pour tout a entier ?

yoshi

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Re : DL logique

Re,

Et si on écrivait : $\sqrt{a^2+\sqrt{4a^2\sqrt{16a^2+8a+3}}}=\sqrt{a^2+2a\sqrt[4]{16a^2+8a+3}}$ ?
Donc, non seulement il faut que [tex]16a^2+8a+3[/tex] soit un carré, mais encore la puissance quatrième d'un entier...

Ça se corse, s'pas ?...

Mais dire que  pour que [tex]\sqrt{a^2+k}[/tex] avec a et k entier, soit est un entier, il est nécessaire que k soit un carré serait faux :
[tex]\sqrt {2^2+5}=3[/tex]

@+

yoshi

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Re : DL logique

Salut,

Là, si $\sqrt[4]{16a^2+8a+3}$ n'est pas entier, alors $2a\sqrt[4]{16a^2+8a+3}$ ne ne le sera pas non plus, et par voie de conséquence la somme sous le dernier radical non plus...
Il suffit donc de monter que $\sqrt[4]{16a^2+8a+3}$ n'est pas entier et donc que $\sqrt {16a^2+8a+3}$ n'est pas entier non plus
$\sqrt {16a^2+8a+3}$ n'est pas entier si $16a^2+8a+3$ n'est pas un carré...
Forme canonique : $16a^2+8a+3=(4a+1)^2+2$
Conclusion...

@+