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Renard90

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Contraction d'une tenseur.

Bonsoir,

Comment en général, contracte-t-on un tenseur [tex]T \in E \otimes E^* \otimes \dots \otimes E \otimes E^*[/tex] ? Quelle est la méthode à suivre ?

Merci d'avance.

bridgslam

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Re : Contraction d'une tenseur.

Bonsoir,

En dimension finie p de E (et son dual):
Si T est une application 2n-linéaire , un tenseur une fois contracté de T est une application (2n-2 )- linéaire obtenue par restriction de T sur les 2n-uplets dont deux termes sont figés à un vecteur de base d'un des espaces E et à son vecteur dual d'un des espaces dual de E, ce qui fournit sur ton exemple pas mal de possibilités ($pn^2$ sauf erreur)
En terme de coordonnées tensorielles, cela revient à fixer et égaliser deux indices de variances opposées.

Renard90

Invité

Re : Contraction d'une tenseur.

... cela revient à fixer et égaliser deux indices de variances opposées.

Merci.
Qu'entends tu par : fixer et égaliser deux indices de variances opposer. Est ce que vous pouvez me proposer un exemple ?.
Par exemple, sur l'exemple,
[tex]T \in \mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2 \otimes ( \mathbb{R}^2 )^* \otimes ( \mathbb{R}^2 )^*[/tex] où, [tex]T_{ij}^{km} = T(e_i , e_j , e_{k}^* , e_{m}^* ) = 2^i 3^j 5^k 7^m[/tex] .
Merci d'avance.

bridgslam

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Re : Contraction d'une tenseur.

Bonjour

$S_{ik}$ dont l'image en $ (e_i, e_k^*) $ est $21\times2^i5^k$ est un tenseur contracté de T.

Dernière modification par bridgslam (20-04-2025 09:35:55)

Renard90

Invité

Re : Contraction d'une tenseur.

$S_{ik}$ dont l'image en $ (e_i, e_k^*) $ est $21\times2^i5^k$ est un tenseur contracté de T.

Merci bridgslam.
Est ce que, $S_{ik}$ dont l'image en $ (e_i, e_k^*) $ est $(21)^2 \times2^i5^k = 42 \times2^i5^k$ est aussi un tenseur contracté de [tex]T[/tex] ?.
Merci d'avance.

bridgslam

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Re : Contraction d'une tenseur.

Bonsoir,

Oui, vu que chaque espace est de dimension 2.
Il y en a d'autres  en considérant d'autres paires d'espaces duaux.

bridgslam

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Re : Contraction d'une tenseur.

Bonsoir,

Désolé, une erreur grossière de ma part, l'indice désignant les vecteurs de base duaux n'est évidemment pas fixé, on somme sur lui.
On obtient ainsi effectivement un tenseur d'ordre n-2 si on part d'un tenseur d'ordre n.
Je vous laisse corriger vos exemples, c'est immédiat  et facile.
Le calcul tensoriel s'est hélas flouté dans mon esprit, avec le temps, induisant cette erreur idiote.
Je ne fais pas de calcul tensoriel  tous les jours, loin de là.
Je crois que cela a un sens même en dimension infinie.
Je suppose qu'il faut davantage replonger dans la théorie pour le voir, ce qui est loin aussi...
Vous êtes dans un cursus de physique ( genre mécanique des milieux continus/fluides  ou relativité générale)?

Bon courage

Dernière modification par bridgslam (23-04-2025 12:36:07)

bridgslam

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Re : Contraction d'une tenseur.

Bonjour,

Bonsoir,

Comment en général, contracte-t-on un tenseur [tex]T \in E \otimes E^* \otimes \dots \otimes E \otimes E^*[/tex] ? Quelle est la méthode à suivre ?

Merci d'avance.

Une vue plus intrinsèque des choses:
Le tenseur contracté de T d'ordre n selon les indices (1,2) (par exemple , en suivant ton gabarit d'espaces) , est l'application d'ordre n-2 qui au n-2 uplet de vecteurs $ ( x_3, ..., x_n ) $ associe le réel $ T( e_i ,  e{^i}^* , x_3, ..., x_n )$, en adoptant la notation simplificatrice d'Einstein où on somme ad libitum sur l'indice répété de variance différente d'éléments , ici d'une base et de sa base duale.
Montrer qu'il s'agit bien d'un tenseur (multilinéarité) , et que la définition a un sens ( l'application ne dépend pas en fait de la base choisie pour sa définition, sinon cela n'aurait aucun sens). Bon exercice d'ailleurs.
Rien n'empêche de réitérer la contraction, qui fonctionne par paires de covariances différentes.
Comme dans ton exemple il semble que tu considères  n = 2m avec m paires (E,E*) , on peut finir par un tenseur d'ordre 0, autrement dit un scalaire, au bout de m contractions.
On a aussi le produit contracté de deux tenseurs T et S qui consiste à en effectuer le produit tensoriel $T \otimes S$, puis à contracter ensuite si c'est licite bien-sûr.

Je reprends en ce moment quelques échanges précédents, pas de surprise sur l'effet retard donc...

Dernière modification par bridgslam (Aujourd'hui 09:02:18)