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Bonjour
si on a la fonction $f$ définie par $$
f(x,y)
=
\begin{cases}
1 &: (x,y) \in B,\\
0 &: \mbox{sinon},
\end{cases}
$$ où $B$ est une boule de $\mathbb{R}^2$ de mesure $\dfrac{1}{w},$ où $w > 0$.

Je cherche à écrire la définition de $f\Big(\dfrac{x}{\epsilon}, \dfrac{y}{\epsilon}\Big),$ où $\epsilon > 0$. Je propose ceci, est-ce correct ?

la mesure de B est $1/w$ veut dire que son aire est $1/w$, qui veut dire que $4 \pi R^2= \dfrac{1}{w}$ où $R$ est le rayon de la boule $B$. Qui implique que $R^2=\dfrac{1}{4 *\pi*w}$ donc $R= \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{1}{\pi*w}}$.
Aussi $(x/\epsilon, y/\epsilon) \in B$ implique $\sqrt{\dfrac{x^2}{\epsilon^2}+\dfrac{y^2}{\epsilon^2}} \leq R= \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{\pi*w}}$ qui implique que $\sqrt{x^2 +y^2} \leq \dfrac{1}{2} \dfrac{\epsilon}{\sqrt{\pi * w}}$.

Donc
$$
f(x/\epsilon,y/\epsilon)
=
\begin{cases}
1 &: \sqrt{x^2+y^2} \leq \dfrac{1}{2} \dfrac{\epsilon}{\sqrt{\pi * w}}\\
0 &: \mbox{sinon}.
\end{cases}
$$

Est-ce que tout est correct?

Cordialement

Bonjour
j'ai l'exo suivant mais ma difficulté est pour les deux dérnieres questions. J'écris l'exo en entier car peut être qu'on pourra utiliser que question précédente.
1.
a- soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\varphi(0)=0$. Montrer que
$\forall x \in \mathbb{R}, \varphi(x)=x \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$. En déduire qu'il existe $\psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\varphi= x \psi$.
b- Soit $\varphi_0 \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\varphi_0(0)=1$. Montrer que
$\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}), \exists \psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \varphi= \varphi(0) \varphi_0+ x \psi$, et assurez vous que $\varphi \to \psi$  définie une application linéaire continue de $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ dans lui même.
2. Soit $T$ une distribution sur $\mathbb{R}$.
a- on suppose que $x T=0$. Montrer qu'il existe une constante $c$ telle que $T= c \delta$.
b- En déduire que si $(x-a)T=0$ alors il existe une constante $\alpha$ telle que $T=\alpha \delta_a$.
c- on suppose qu'il existe $a$ et $b$ deux réels distincts tels que $(x-a)(x-b)T=0$. Montrer qu'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $T= \alpha \delta_a + \beta_b$.
3- Soit $S$ une distribution sur $\mathbb{R}$. En utilisant la question 1-b, trouver une distribution $T_0$ telle que $xT_0=S$.

Je souhaite une indication pour la question 2-c et aussi pour la question 3. S'il vous plaît.

Bien cordalement

Bonjour
j'ai l'exercice suivant: soit $\varphi_0 \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ tel que $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi_0(t) dt=1$. Montrer que pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ il existe un couple $(c,\psi) \in \mathbb{R} \times \mathcal{D}(\mathbb{R})$ tel que $\varphi = \psi' + c \varphi_0$.
Je peine à avoir une idée pour commencer la solution.

Merci par avance pour l'aide.