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Bonjour
je cherche deux ou trois exemples de fonctions non linéaires $F$ telle que: $F(0)=0$, $J+2$ différentiable, sa dérivée $F'$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$ et $F^{(j)}$ (sa $j-$ ème dérivée) est bornée pour tout $j=1,2,...,J$. Le dernier point (la bornitude des j-ème dérivées) me pose problème pour trouver des exemples.

Merci par avance.

Bonjour
est-ce que $L^2(\Omega)$ est identique à $H^0(\Omega)$ ou bien elle est identique à $H^0_0(\Omega)$ qui est l'adhérence de $\mathcal{D}(\Omega)$ dans $H^0(\Omega)$?

Bien cordialement

Bonjour,
soit $u: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction définie par:
$$
\begin{cases}
0 &: x \leq -1\\
1+x &:-1 \leq x \leq 0\\
1-x &:0 \leq x \leq 1,\\
0 &: 1 \leq x
\end{cases}
$$
J'ai montré que $u \in H^1(\mathbb{R})$.
Comment montrer que $v =1-u$ appartient à $H^1([-2,2])$ mais il n'appartient pas à $H^1(\mathbb{R})$?

J'ai calculé $1-u=v$, et cette fonction est définie par:
$$
v(x)
=
\begin{cases}
1 &: x \leq -1\\
-x &-1 \leq x \leq 0\\
x &: 0 \leq x \leq 1\\
1 &: 1 \leq x.
\end{cases}
$$
Comment voir si $v \in H^1([-2,2])$ or que le domaine de définition de $v$ n'est pas délimiter par $2$ et $-2$? Et pourquoi $v \notin H^1(\mathbb{R})$?

Cordialement

Bonjour
on a le théorème suivant sur l'existence et l'unicité de la solution d'un problème de Cauchy:
Soit $f(x,y)$ une fonction qui vérifie $|f(x,y_1)-f(x,y_2)| \leq h |y_1 - y_2|$ pour tout $(x,y_1)$ et $(x,y_2)$ d'un ouvert $\Omega$ de $\R^2$. On suppose que $h$ est continue en tout point $u$ de $]0,\alpha]$ et strictement positif et $\lim_{\epsilon \to 0^+} \displaystyle\int_{\epsilon}^{\alpha} \dfrac{du}{h(u)}=+\infty$ avec $\alpha > 0$. Dans ce cas pour tout point $(x_0,y_0)$ de $\Omega$, le problème $y'=f(x,y)$ admet au moins une solution.

Je cherche un  exemple qui montre comment appliquer ce théorème.

Bien cordialement

Bonjour
j'ai le problème suivant: sur $[0,1]^2 \times [0,1]$
$$
\begin{cases}
\dfrac{\partial u}{\partial t} - \Delta u + w q(\dfrac{x}{\epsilon},\dfrac{y}{\epsilon})u = f(x,t),\\
u(x,t=0)= 0
\end{cases}
$$
où $f(x,t)= t^2 \exp(-t) \sin(2\pi x) \sin(2 \pi y)$, la fonction $q$ est donnée par
$$
q(x,y)
=
\begin{cases}
1 &\mbox{si } (x/\epsilon, y/\epsilon) \in B +\mathbb{Z}^2\\
0 &\mbox{ sinon }
\end{cases}
$$
avec conditions au bord périodiques.

Est-ce qu'il y a un logiciel qui permet de calculer la solution de cet edp directement? Merci par avance pour toute aide.

Bien cordialement

Bonjour
on considère le problème suivant
$$
\begin{cases}
y'+a(x)y=b(x)y^k,\\
y(x_0)=y_0
\end{cases}
$$
où $k$ est une constante différente de $1$ et $0$.

Pour résoudre ce problème on commence par diviser sur $y^k$ et pour ça il faut être sûre que $y \neq 0$ et que $y$ ne s'annule pas en certain point. Une idée est de diviser au voisinage d'un point sur lequel $y$ n'est pas nulle.
Est-ce que ce voisinage doit être le voisinage de $x_0$? Dans ce cas si $y_0=0$ qu'est ce qu'on doit dire?

Cordialement