Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour
j'ai l'exercice suivant: soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ et soit $\theta \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\theta(0)=1$. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a:
$$
\varphi(x)= \varphi(0) \theta(x) + x \psi(x).
$$
On nous donner comme indication: écrire $\displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$.
Ma question est comment l'indication peut nous permettre de répondre à la question? Je ne vois pas comment l'utiliser. De plus, qui est $\psi$?

Bien cordialement

Bonjour
soient $\varphi, \psi \in \mathcal{D}(\Omega)$ où $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$. Comment déterminer le support du produit de $\varphi$ et $\psi$: $\mathrm{Supp}(\varphi.\psi)$?
J'ai commencé par écrire la définition
$$
\mathrm{Supp}(\varphi.\psi)= \overline {\{ x \in \Omega: \varphi(x) \psi(x) \neq 0  \}}.
$$
et après c'est quoi la suite logique?

Cordialement

Bonjour
j'ai posé la question suivante à un enseignant:
J’ai deux problèmes: prob1 et prob2 et deux paramètre eps et omega. épis est petit (destiné à tendre vers 0).
En choisissant eps et omega tels que
eps^2*omega <<1, on trouve que la solution de prob1 converge vers la solution de prob2 lorsque dos tend vers 0 (En dimension 2).
Ceci montre, me semble t-il que la condition eps^2*omega <<1 est une condition suffisante pour la convergence de prob1 vers prob2. (Ceci en 2D). J’ai raison? S’il vous plaît.

En 3D il y a un contre exemple qui montre que si
eps*omega^{1/6} >>1 alors la solution de prob1 ne converge pas vers la solution de prob2 lorsque eps tend vers 0 et oméga très grand. En effet, la solution de prob1 converge vers un autre problème 3.
J’ai deux questions si vous le voulez bien:
1- est ce que la condition eps*omega^{1/6} >>1 est plus forte que la condition eps^2*omega>>1. S’il n y a pas convergence dans le cas eps*omega^{1/6} alors on peut déduire la non convergence dans le cas eps^2*omega>>1?
2- Quel test on peut faire pour voir si la condition eps^2*omega <<1 est nécessaire à la convergence et prob1 vers prob2?

La réponse de l'enseignant était la suivante:
IL est clair que omega=1/eps^p fonctionne pour les deux critères:
eps^2*omega >>1
eps*omega^{1/6} <<1
si et seulement si 2<p<6. Donc il y a toute une classe de eps et omega
pour lesquelles la condition suffisante n'est pas satisfaite et, en même
temps, vous n'avez pas de contre-exemples.
Donc on ne peut rien dire...

Malheureusement je n'ai pas compris sa réponse, et lorsque j'ai demandé plus de détails il m'a répondu qu'il part en vacances et qu'il n'a pas le temps. Ma question est est ce que quelqu'un parmi vous peut m'expliquer la réponse et m'aider sur ma question?

Merci par avance.

Bonjour
on considère l'équation du second ordre
$$
Y''(y) - \dfrac{n^2 \pi^2}{a^2}Y(y)=0,
$$
où $a$ est une constante donnée et $n \in \mathbb{N}^\star$.
Je lis que la solution générale de cette edo est:
$$
Y(y)= C_1 cosh(\dfrac{n\pi}{a}y) + C_2 sinh(\dfrac{n\pi}{a}y).
$$
Je ne comprends pas d'où viennent le sinus hyperbolique et le cosinus hyperbolique, comment on arrive à cette formule?

Merci par avance.

Bonjour
j'ai le problème suivant: on considère le système
$$
\begin{cases}
y_1' = 3y_1 - y_2\\
y_2' = 4 y_1 -y_2\\
y_1(0)=1, y_2(0)=0
\end{cases}
$$
on peut l'écrire sus la forme du système $Y'=AY$ où
$
A=
\begin{pmatrix}
3 &-1\\
4 &-1
\end{pmatrix}
$
et je souhaite à résoudre ce problème. On commence par calculer les valeurs propres de la matrice $A$ est on trouve une seule d'ordre $2$: $\lambda =1$. Le vecteur associé est
$
v_1=
\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}
$.
Pour trouver une matrice fondamentale, il faut chercher un vecteur propre linéairement indépendant de $v_1$. Est-ce que ce qui suit est correct?
Chercher un vecteur $v_2$ indépendant de $v_1$ veut dire qu'il satisfait l'équation $(A-I)v_2=v_1$ ce qui implique que
$
v_2=
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}
$
Donc une matrice fondamentale est
$$
\Phi(x)
=[e^{\lambda x} v_1, e^{\lambda x} (xv_1-v_2)]
$$
Est-ce que cette méthode est correcte?

Bien cordialement

Bonjour
j'ai la question suivante: calculer $\dfrac{d}{dx} (x \ln |x|)$. Je comprends que c'est au sens des distributions qu'il faut calculer cette dérivée puisque la fonction $x \ln|x|$ n'est pas définie en 0. Tout d'abord, $x \ln|x| \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$. Elle définie donc une distribution par: pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \langle T, \varphi \rangle = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x \ln |x| \varphi(x) dx$.
$$
\langle \dfrac{d}{dx} (x \ln|x|),\varphi \rangle = - \langle x \ln|x|,\varphi' \rangle= -\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x \ln|x| \varphi'(x) dx= -\displaystyle\int_{-\infty}^0 x \ln(-x) \varphi'(x) dx - \displaystyle\int_0^{+\infty} x \ln(x) dx.
$$
En utilisant l'ipp on obtient finalement que
$$
\langle \dfrac{d}{dx} (x \ln|x|),\varphi\rangle = \displaystyle\int_{-\infty}^0 (\ln(-x)-1) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} (\ln(x)-1) \varphi(x) dx.
$$
ce qui implique que
$$
\dfrac{d}{dx} (x \ln|x|)= \ln|x|-1
$$
au sens des distributions.
Dans la solution je lis le résultat suivant $ \dfrac{d}{dx} (x \ln|x|)= \ln|x|+1$. Est-ce que c'est moi qui a fait une erreur de signe ou c'est eux?

Bien cordialement

Bonjour
on considère dans $D'(\mathbb{R})$ l'équation suivante: $T''-4T=0$. On cherche une solution particulière $T_p= gH$ où $H$ est la fonction de Heaviside.
Je lis ceci: $T_p'= (gH)'= g' H+ gH'$ et $T_p''= g''H+2 g' H' + gH''$.
Mais tant qu'on ne sait pas si $gH$ est continue alors la dérivée au sens des distributions n'est pas identique à la dérivée au sens usuel. Je ne comprends donc pas comment on obtient ces expressions de $T_p'$ et $T_p''$?

Bien cordialement