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Je dis que $g(x)= x- 2\pi$ sur $[2\pi,4\pi]$ Le problème est que mantenant jesuis perdue dans cet exercice.  Il faut généraliser? Mais je n'arrive pas à généraliser.

Ok. Donc on a
$$
\langle g',\varphi \rangle = \sum_{k=k_1}^{k_2} \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx - \sum_{k=k_1}^{k_2} 2(k+1)\pi \delta_{2(k+1)\pi}
+ \sum_{k=k_1}^{k_2} 2 k \pi \delta_{2 k \pi}.
$$
On peut écrire que:
$$
\sum_{k=k_1}^{k_2} \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi(x) dx,
$$
qui est la distribution associée à la fonction $f(x)=1$.
Mais comment justifier que la somme sur $k$ devient une intégrale sur tout $\mathbb{R}$? S'il vous plaît.

Merci beaucoup! C'est très clair. Alors, soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, alors il existe $R_1$ et $R_2$ de $\mathbb{R}$, tels que $Supp \varphi \subset [R_1,R_2]$.
Puisque $g \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$, alors il définit une distribution par la relation
$$
\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}) \to \langle g,\varphi \rangle= \displaystyle\int_{\mathbb{R}} g(x) \varphi(x) dx.
$$
Puisqu'on a l'information que $g$ est $2 \pi$ periodique, on partitionne l'intervalle $[R_1,R_2]$ avec des intervalles de la forme $[2k \pi, 2(k+1) \pi]$. Ainsi on a
$Supp \varphi \subset [R_1,R_2] \subset \cup_{k=k_1}^{k_2} [2 k \pi, 2(k+1) \pi]$.
Ainsi, on a:
$$
\langle g',\varphi\rangle= - \langle g,\varphi'\rangle = - \displaystyle\int_{\mathbb{R}} g(x) \varphi'(x) dx = - \sum_{k=k_1}^{k_2} \displaystyle\int_{2 k \pi}^{2(k+1)\pi} x \varphi'(x)dx.
$$
En utilisant l'intégration par partie, on obtient que
$$
\langle g',\varphi \rangle = - \sum_{k=k_1}^{k_2} \displaystyle\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \varphi(x) dx.
$$
Si c'est ok, ma question est à quelle distribution est égale $g'$? S'il vous plaît.

D'accord, c'est compris maintenant.
Si on considère la fonction $g$ définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, $2 \pi$ périodique telle que $\forall x \in [0, 2\pi[, g(x)=x$.
La question est de calculer $g'$ au sens des distribution, et mon problème est que je ne vois pas comment utiliser la periodicité de $g$ pour avoir l'expression de $g$ sur tout $\mathbb{R}$ et pouvoir calculer sa dérivée.
Merci pour votre aide.

Mais le support des fonctions tests définie sur $]0,\pi[$, c'est quoi? Ce n'est pas $[0,\pi]$? S'il vous plaît.

Je suis bête. J'ai fais une grosse erreur dans l'ipp. Alors voilà:
$$
\displaystyle\int_0^{\pi} |\cos(x)| \varphi'(x) dx = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos(x) \varphi'(x) dx - \displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} \cos(x) \varphi'(x) dx.
$$
Par l'ipp, on a
$$
\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos(x) \varphi'(x) dx = -\varphi'(0) + \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin(x) \varphi(x) dx,
$$
et
$$
\displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} \cos(x) \varphi'(x) dx = -\varphi(\pi) + \displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} \sin(x) \varphi(x) dx.
$$
Donc
$$
\displaystyle\int_0^{\pi} \cos(x) \varphi'(x) dx = - \varphi(0) + \varphi(\pi) + \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin(x)\varphi(x) dx - \displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} \sin(x) \varphi(x) dx.
$$
Ainsi,
$$
\langle f',\varphi \rangle = \varphi(0) - \varphi(\pi) - \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin(x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} \sin(x) \varphi(x) dx.
$$
On peut la simplifier encore plus? S'il vous plaît.

Oui c'est vrai. Je reprend. On obtient que
$$
\langle f',\varphi \rangle = -\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos(x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} \cos(x) \varphi(x) dx - 2 \varphi(\pi/2)
= - \displaystyle\int_0^{\pi} |\cos(x)| \varphi(x) dx - 2 \langle \delta_{\pi/2},\varphi \rangle.
$$
On conclut que  $f'(x)= -(|cos(x)| + 2 \delta_{\pi/2})$ dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$.
C'est ok? S'il vous plaît.

Merci beaucoup.

Alors, on suppose que $\varphi =0$ sur $\mathbb{R}^*$, et puisque $\{0\}$ est de mesure finie et $\varphi$ est continue, alors $\varphi$ est nulle sur tout $\mathbb{R}$. C'est ok?

alors $\theta_n(x_n) \neq 0$, ce qui veut dire que $x_n \in K$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Après, quand $n \to +\infty$, $n x_0$ n'est plus dans K. C'est ok? S'il vous plaît

Je propose ceci:
si $n=1$ alors $Supp \theta_n \subset [-R,R]$
et si $n \geq 2$ alors $Supp \theta_n \nsubseteq [-R,R]$ car $nR > R$
On conclut donc que $Supp \theta_n$ ne peut pas être inclus dans le même compact, quelque soit $n \in \mathbb{N}$.
Ainsi, $\theta_n$ ne converge pas dans $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ vers $\theta \equiv 0$.

C'est bon? S'il vous plaît.

et pour la convergence uniforme de $D^\alpha \theta_n$. Soit $\alpha \in \mathbb{N}$. On a:
$$
|D^\alpha \theta_n| = |\dfrac{1}{n^{\alpha +1}} D^\alpha \varphi(\dfrac{x}{n})|
$$
on a alors
$$
\lim_{n \to +\infty}|D^\alpha \theta_n| = 0
$$
On a aussi
$$
Supp \theta_n \subset [-nR,nR] \subset [-R_1,R_1]
$$
et
$$
upp \emptyset \subset [-R_1,R_1]
$$
on conclut que $\theta_n$ converge dans $\mathcal{D}$ vers $\theta \equiv 0$.
C'est bon?
Et ça ne fait rien si les supports sont inclus dans un intervalle [-R_1,R_1]$ plus gros que $[-R,R]$? S'il vous plaît