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#76 Re : Entraide (collège-lycée) » Angles orienté » 15-12-2016 15:40:06
1) Tu ne veux toujours pas rédiger ton problème, donc pas de contexte pour nous, ca n'incite pas à aider. Mais soit.
2) Le lien que tu nous donnes est mal fait, car aucune image ne s'affiche (comme montré ci-dessous):
#77 Re : Entraide (supérieur) » Distribution solution d'une équa diff » 15-12-2016 15:32:56
Quelques petites remarques :
1- Sur les IPP, le fait que $\varphi$ soit à support compact ne permet pas de se débarasser complètement des valeurs aux bornes. La fonction de Heaviside coupe l'intégrale pour $t \ge 0$. Il y a une singularité en $0$, à cause du facteur $\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ dans $K(t,x)$ qu'il faut gérer.
Arf ! J'y retourne !
2- [...] calcul "mathématiques pour l'ingénieur" !
C'est un de mes défaut, vu que je viens d'une formation Math Appli pour Ingé.
c'est de raisonner en termes de restriction/extension des distributions.
En cours, je ne pense pas que j'ai abordé la notion d'extention des distributions, donc là je ne pense rien pouvoir faire.
Dans l'ensemble, merci pour tes commentaires, il faut que je travaille ma rigueur ( c'est pas très marrant ^^ ).
#78 Re : Entraide (collège-lycée) » Angles orienté » 15-12-2016 15:27:37
Un peu mieux, mais toujours pas !
#79 Re : Café mathématique » Un petit coup de main s'il vous plait » 15-12-2016 11:49:14
:-) Waouw j'ai du boulot,
je vais essayer de voir à quoi correspond tout ça,
merci!
^^ N'hésite pas à me demander de reformuler si besoin :)
#80 Re : Entraide (supérieur) » Distribution solution d'une équa diff » 15-12-2016 11:42:55
Très bonne idée ca me plait !
En effet, $K$ est solution de $(\partial t -\partial^2_{x^2})K = 0 $ sur $\mathbb R^*_+ \times \mathbb R$. Soit au sens des distributions $(\partial t -\partial^2_{x^2})K = \delta_{0,0} $
On peut alors faire une IPP, sachant que $\phi$ est à support compact, on fait sauter les termes de bords.
Je me retrouve donc à résoudre
\begin{align}
<(\partial t -\partial^2_{x^2})G,\phi> &= -\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+} \int_\epsilon^\infty \int_\mathbb{R^2}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} K(t,x)(\partial t -\partial^2_{x^2})\phi(t,x)dtdx \\
&=\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+} \int_\epsilon^\infty \int_\mathbb{R^2}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} (\partial t -\partial^2_{x^2})K(t,x)\phi(t,x)dtdx \\
&= \lim_{\epsilon \rightarrow 0^+} \int_\epsilon^\infty \int_\mathbb{R^2} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\delta_{0,0} \phi(t,x) dtdx\\
&= \int_\mathbb{R^2} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \delta_{0,0} H(t) \phi(t,x) dtdx =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \phi(0,0)
\end{align}
C'est presque cà ! Je vais montrer ça à mon directeur pour correction.
Merci beaucoup !
#81 Re : Café mathématique » Un petit coup de main s'il vous plait » 15-12-2016 11:18:55
On se place de le plan 2D $(xOy)$
Avec, soit $N\in \mathbb N, x\in [1,N], y \in [1,+\infty], f(x,y) = \sin\left(\dfrac{\pi x}{y}\right)$ et $g(x,y) = \sin\left(\dfrac{\pi (N-x)}{y}\right)$, (si tu acceptes cette fonction) donc symétrique par rapport à $N/2$ (dans ton exemple, $N =23$)
$f(x,y)=0 \Rightarrow y = \dfrac{x}{k_1}\text{ pour tout }k_1 \in \mathbb{N}$
$g(x,y)=0 \Rightarrow y = \dfrac{N-x }{k_2}\text{ pour tout }k_2 \in \mathbb{N}$
Si on prend $k_1 = k_2$ alors les deux droites sont symétriques par rapport à l'axe $x = N/2$ et se coupe en $(N/2,N/(2k_1)-1)$
Sinon l'ensemble de toutes les intersections est l'ensemble des points $\left(\dfrac{Nk_1}{k_1+k_2},\dfrac{N}{k_1+k_2}\right)$ pour tout $(k_1,k_2)$ tel que $k_1+k_2< N/2$ (c'est ta condition $y >1$) .
Honnêtement, je pense qu'on tourne en rond, car pour démontrer que N est premier, on en revient à chercher si N n'est pas divisible par $(k_1+k_2)$ donc par aucun entier plus petit ou égal que sa moitié.
#82 Re : Entraide (supérieur) » Prepa ECS » 14-12-2016 15:47:10
Il me semble que l'on a dit que $P$ était de degré 3, soit $P(X) = a_3X^3 + a_2X^2+a_1X +a_0$.
Sachant cela, et sachant 2.c) : que sais-tu des coefficients a_k ?
Par contre, je ne fais pas de divisions euclidienne, donc pas sur que ce soit la réponse attendue.
#83 Re : Café mathématique » Un petit coup de main s'il vous plait » 14-12-2016 15:32:54
Certes, mais puisque le point de croisement est $\frac{y_0N}{2k_0}$ , si j'avais pris $k_0 = 2, y_0 = 4, N = 23$ (ruban 23 cm,droite qui passe de (0,0) et (2,4), symétrique passe par (23,0) et (21,4), on aurait alors 23 qui est un entier (je pense que tu cherches un entier < 23).
Si la première fonction f(x) que tu me donnes ressemble à un parapluie, je crois que celle que tu donnes en deuxième g(x) est le même parapluie situé au dessus, alors que j'aimerais que ces deux parapluies soient coplanaires, est ce que tu penses que c'est possible?
La fonction que je recherche ne serait-elle pas
g(x,y)=sin(π*x/(23+y)) ?
Si la fonction que tu recherches est celle qui doit être symétrique pa rapport à l'axe $x=11.5$, c'est
$g(x,y) = \sin\left(\dfrac{\pi (11.5+|11.5-x|}{1+y}\right)$
#84 Re : Entraide (supérieur) » limite d'une integrale... » 14-12-2016 15:03:17
Déjà pour moi, ta fonction à intégrer est défini sur $I=]-x^2,\infty[-\lbrace -x^{\frac{5}{3}}\rbrace $. Pourquoi ce -5 ? Certes, x va tendre vers $+ \infty$ donc à un moment -5 appartiendra à I. Mais passons :
Ce que je vais faire n'est pas rigoureux, mais voyons si on peut en tirer quelque chose:
Soit $x \in \mathbb{R} $
Soit $f(t,x) = \dfrac{ln(x^2+t)+t}{x^5+t^3}$
Au voisinage de l'infini: $f(t,x) \approx_\infty \dfrac{ln(t)+t}{t^3} < \dfrac{2}{t^2} $ qui est intégrable en $+\infty$.
Le problème c'est à gauche... Si quelqu'un à une piste ...
#85 Re : Café mathématique » Un petit coup de main s'il vous plait » 14-12-2016 14:42:19
Je ne te suis pas :
Puisque dans intervalle 0, 23 toutes les droites qui ont pour origine 0 ne croisent aucune des droites qui ont pour origine 23,
Prenons une des droites du début : par exemple, celle passant par (0,0) et (4,2), et notons la $D_{4,2}$.
Prenons sa symétrique par l'axe $x=11.5$ tel que tu l'as énoncé qui va donc passer par (23,0) et (19,2). Notons là $D'_{4,2}$. Par définition, ces deux droites vont se croiser en (11.5,5.75). Donc ce que tu as dit ne représente pas ce qui se passe.
Je formalise : Soit un ruban de longueur $N$, alors pour $ y \in \mathbb{N} $, les droites dont tu parles sont d'équations $ \dfrac{y}{k}x \; \forall k \in \lbrace1,...,N-1\rbrace $, prenons en une : soit $(y_0,k_0) \in \mathbb{N^2}, k_0 < \dfrac{N}{2}$ . Par définitions sa symétrique est d'équation $-\dfrac{y_0}{k_0}x+\dfrac{2y_0N}{k_0} $, et ces 2 droites se coupent en $(\frac{N}{2},\frac{y_0N}{2k_0}).$
Je n'ai vraiment pas compris ce que tu essais de faire, mais je ne dis pas que c'est faux. Quel est la question que tu essais de résoudre, celle avec les nombres premiers ?
#86 Re : Café mathématique » Un petit coup de main s'il vous plait » 14-12-2016 11:36:07
Si ton plan de symétrie est celui régit par l'équation $z = 6.5$ (désolé, mais j'ai du mal avec ta notation xy+6.5 ^^ ) alors ce sera $h(x,y) = 6.5 - g(x,y)$ tout simplement .
En espérant que c'est ce que tu veux :)
#87 Re : Entraide (supérieur) » Execice: integrale et point fixe » 14-12-2016 11:22:09
Bonjour,
Pour 1) tu peux montrer la contraposé : tu supposes que $f$ est toujours continue sur $[a,b]$ mais ne s'annule jamais. Tu dois déduire que son intégrale ne peux être nulle. Indice : si f ne s'annule jamais, elle soit toujours plus grande qu'une certaine valeur non nulle.
Pour 2) Cherche à calculer $\int_0^1 f(x)-xdx$. Regarde ce que tu peux déduire de 1)
#88 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Cherche tôle ondulée » 14-12-2016 11:08:39
Alors j'ai vu ton message dans la section café, si c'est le même problème
Alors, la fonction $g(x,y) = \sin \left( \frac{\pi x}{1+|y|} \right)$ fait ce que tu veux.
#89 Re : Café mathématique » Un petit coup de main s'il vous plait » 14-12-2016 11:00:53
Alors, la fonction $g(x,y) = \sin \left( \frac{\pi x}{1+|y|} \right)$ fait ce que tu veux.
Par contre je n'ai pas compris : qui est symétrique par rapport à cette droite ?
#90 Re : Entraide (supérieur) » question2 » 14-12-2016 10:39:23
Ton terme ressemble ressemble à $<\text{v.p}(\frac{1}{x}),\phi'> = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{\mathbb{R}-[\epsilon,\epsilon]} \frac{\phi'(x)}{x}dx$ qui est une distribution d'ordre 1 si $\phi' \in C^\infty_0(\mathbb{R})$ ce qui est le cas.
Ce n'est pas exactement ce que tu as, donc je ne sais pas si c'est une bonne piste.
#91 Entraide (supérieur) » Distribution solution d'une équa diff » 14-12-2016 10:23:48
- PTRK
- Réponses : 5
Bonjour,
Je cherche à refaire un DS donné au Mines (exam distribution et applications 2016) dont je n'ai pas la correction, et je bloque sur une question.
Soit $\phi \in C^\infty_0(\mathbb{R}^2)$, Soit G la distribution définie par son action sur $\phi$ $:\displaystyle <G,\phi>:=\int_{\mathbb{R}^2} \frac{K(t,x)}{\sqrt{2 \pi}} H(t)\phi(t,x)dtdx$, où $H$ est la fonction de Heaviside, $K(t,x):=\frac{1}{\sqrt{t}}e^{-x^2/(4t)}$.
Je cherche à montrer que $(\partial_t -\partial^2_{x^2})G = \delta_{0,0}$ au sens des distributions.
On y va :
\begin{align}
<(\partial_t -\partial^2_{x^2})G,\phi> &= -<G,(\partial_t +\partial^2_{x^2})\phi>\\
&=-\int_{\mathbb{R}^2} \frac{K(t,x)}{\sqrt{2 \pi}}H(t)\partial_t\phi(t,x)dtdx -\int_{\mathbb{R}^2} \frac{K(t,x)}{\sqrt{2 \pi}} H(t)\partial_{x^2}^2\phi(t,x)dtdx\\
&=-\lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{\mathbb{R}}\int_{t>\epsilon} \frac{K(t,x)}{\sqrt{2 \pi}}\partial_t\phi(t,x)dtdx -\int_{\mathbb{R}^2} \frac{K(t,x)}{\sqrt{2 \pi}} H(t)\partial_{x^2}^2\phi(t,x)dtdx\\
&=I_1+I_2
\end{align}
J'hésite entre faire des DL de $\phi(\cdot,x),\phi(t,\cdot)$ voir $\phi(\cdot,\cdot)$, ou alors une intégration par partie en basculant la dérivé sur le $K$.
Le DL de $\phi(\cdot,\cdot)$ fait apparaitre $\phi(0,0)$ mais je crée un $\partial_{t^2}^2\phi$ et il me reste ce $K(t,x)H(t)$. Les autres sont plus simples, mais je n'obtiens que $\phi(t,0)$ ou $\phi(0,x)$ et toujours reste ce $K(t,x)H(t)$.
Quelle piste est à privilégier ?
Merci