Forum de mathématiques - Bibm@th.net

J'avais essayé ceci:
\begin{align*}
0&= \displaystyle\int_a^b \varphi(x) dx = \displaystyle\int_a^x \varphi(x) dx + \displaystyle\int_x^b \varphi(x) dx\\
&= \displaystyle\int_a^{a+\epsilon} \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{a+\epsilon} \varphi(x) dx + \displaystyle\int_x^{b-\epsilon} \varphi(x) dx +\displaystyle\int_{b-\epsilon}^b \varphi(x) dx\\
& = \displaystyle\int_{a+\epsilon}^{b-\epsilon}\varphi(x) dx
\end{align*}
et je bloque à ce niveau parce qu'on ne sait pas si $\varphi$ et positif.

Puis, j'ai essayé la méthode que j'ai lu. On a
$$
\displaystyle\int_a^b \varphi(x) dx = \displaystyle\int_a^x \varphi(x) dx + \displaystyle\int_x^b \varphi(x) dx
$$
Si $x >b-\epsilon$, alors $\displaystyle\int_x^b \varphi(x) dx =0$, ce qui implique que $\psi(x)= \displaystyle\int_a^x \varphi(x) dx =0$
et là je bloque aussi.
Merci pour votre aide.

Je lis une solution que je ne comprend pas très bien à la fin.
On pose $\psi(x)= \displaystyle\int_a^x \varphi(t) dt$
On a $\psi \in C^\infty(]a,b[)$
il reste à prouver que $Supp \psi \subset ]a,b[$.
Puisque $Supp \varphi \subset ]a,b[$, alors il exist $\epsilon >0$ t.q $\varphi=0$ sur $[a,\epsilon]$ et $[b-\epsilon,b]$.
On a:
$$
\displaystyle\int_a^b \varphi(t) dt = \displaystyle\int_a^x \varphi(t) dt + \displaystyle\int_x^b \varphi(t) dt
$$
lorsque $x>b-\epsilon$, alors $\displaystyle\int_x^b \varphi(t) dt =0$ ce qui implique que $\psi(x)= \displaystyle\int_a^x \varphi(t) dt =0$
Mais je ne comprend pas comment ça peut nous aider à déduire que $Supp \psi \subset ]a,b[$.
Merci pour votre aide.

Je n'avais pas dit que $\varphi'(2k\pi)=0$, j'ai dit que $\varphi'(2 k \pi) = \varphi'(0)$ et comme $0 \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$, alors $\varphi'(0)= 1$ (car $\varphi'(x)=1$ et donc $\varphi'(0)=1)$ et de ce fait, $\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2 k \pi)= 2 \pi$.
S'il vous plaît, qu'est ce qui est faut dans ce que je vient d'écrire? Et pourquoi? En sachant que dans votre réponse, je ne comprend paspourquoi vous dire qe $\varphi'(2k\pi)=0$ pour tot $k$, ni pourquoi vous avez isolé le point 0 au départ.
Merci pour votre aide.

Bonjour,
alors voilà.
1. Je ne comprend pas très bien comment on obtient que $Supp(\sin(x))=\mathbb{R}$.
2. Oui, l'ensemble $E$ est discret, et on n'a aucune information sur ce qui se passe au voisinage de chaque point.
3. On définit l'adhérence d'un ensemble $A$ par: $x \in \overline{A} \mbox{ssi} \forall V \in \mathcal{V}(x): V \cap A \neq 0$
Si le point est dans le support, alors a fonction ne peut pas s'annuller au voisinage de ce point car $A= Supp \varphi$ ne contient que les points $x$ t.q $\varphi(x) \neq 0$.
4. Puisqu'il y a des points de l'adhérence où $\varphi$ s'annulle, comment on conclut que si $x \in (Supp \varphi)^c$, alors $\varphi(x)=0$ sinon ça sera un point de l'adhérence du support?
4. Toutes ces questions viennent du fait que j'avais écrit le rasonnement suivant:
Puisque $Supp \varphi \subset [-\pi,\pi]$, alors il existe un seul $k \in \mathbb{Z}$ qui est $k=0$ tel que $\varphi(0)\neq 0$. Donc, on peut dire que
$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2 k \pi)=\varphi'(0)$, et puisque $0 \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$, alors $\varphi(x)=x$ donc $\varphi'(x)=1$ et $\varphi'(0)=1$. Ainsi $\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2 k \pi)= 1.$
Ma question est, s'il vous plaît, où est l'erreur et comment la corriger de manière simple? Je suis complétement perdue avec les voisinages.
Je vous remercie pour votre aide.

Tout d'abord, puisque $(Supp \varphi)^c$ est le plus grand ouvert sur lequel $\varphi$ s'annulle alors $E \subset (Supp \varphi)^c$.
Ensuit, le a dit que si $x \in (Supp)^c$, alors $\varphi'(x)=0$ ce qui est normal puisque $\varphi(x)=0$
et le b dit que si $x \in E$, alors $\varphi'(x)=0$, ce qui est normal aussi puisque $\varphi(x)=0$ dans ce cas aussi.
Excusez moi mais je ne comprend pas la difference et je ne vois pas pourquoi le b est faux.
Merci pour votre aide.

Donc en règle générale, une fonction est nulle au voisinage d'un point si et seulement si cete fonction est nulle en ce point?

Mais alors il n'y a pas qu'a point 0 que $\varphi$ est nulle. $\varphi$ est nulle au voisinage de 0. Non? Je suis un peu perdue sur ce point.

Ok, c'est bien compris.
La dérnière question est de calculer $\langle g'',\varphi \rangle$ où $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ avec Supp \varphi \subset [-\pi,\pi]$ et
$\foral x \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]: \varphi(x)=x$.

Alors voilà ce que j'ai fais. On a:
$$
\langle g'',\varphi\rangle = - \langle g',\varphi'\rangle = - \langle 1,\varphi \rangle + 2 \pi \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2k\pi).
$$
D'un côté, on a $\langle 1,\varphi'\rangle= - \langle 1',\varphi\rangle=0$,
et d'un autre côté, il faut calculer $\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2k\pi)$. Le problème est que je n'arrive pas à utiliser les données sur $\varphi$ pour faire ce calcul.
Merci pour votre aide.

Question un peu bête, mais comment on sait que $g$ est discontinue au point $2k\pi$? Et comment vous avez fait le lien avec la formule des sauts? S'il vous plaît.