Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir

je n'arrive pas à utiliser le code Latex ( cf mon post )

j’ai répondu aux 3 premières questions de cet exercice , pouvez vous me dire si c’est correct et m’aider à terminer
merci beaucoup 
soit tu une translation de  vecteur u et SD une réflexion d'axe D
On se propose d'étudier la composée dans toutes les positions relatives de u et D

1. Montrer que la composée tu o SD est un antidéplacement. En déduire que ce n'est ni une translation, ni une rotation
tu o SD est la composée d' un déplacement et d' un antidéplacement: c' est un anti déplacement.
Une rotation ou une translation étant des déplacements,
et la composée étant un anti déplacement, ce ne peut être ni une rotation, ni une translation

2. on suppose que u est un vecteur normal à D . En décomposant tu en un produit de réflexions bien choisies , montrer que tu o SD est une réflexion dont vous déterminerez l'axe
Soit d’ la parallèle à d de sorte que 2HH’=u
(H et H’ sont les points d' intersection d' une perpendiculaire commune aux deux axes et de ces deux axes)
Alors tu = SD’ o SD
et tu o SD’ = SD’ o SD o SD  = SD’
Si bien que la composée est la réflexion d' axe D’

3. on suppose maintenant que u est non nul et que c'est un vecteur de directeur de D. En raisonnant par l'absurde, monter que tu o Sd ne peut pas être une réflexion
Si tu o Sd était une réflexion, cette transformation aurait des points fixes
Or l' image de tout point de M est M’ tel que MM’ = u+v où u est orthogonal à v  et non nul.
Donc MM’ différent de O
tu o Sd n' est donc pas une réflexion

4. on suppose u différent de O et que u n'et ni parallèle, ni orthogonal à la direction de D . En décomposant u en la somme de 2 vecteurs , montrer que tu o Sd est encore une réflexion glissée
donnez la forme réduite de tu o Sd, c'est-à-dire  trouver une droite D’ et un vecteur u parallèle à la direction de D’ tel que  tu o Sd ‘=tu o Sd

5 montrer que le produit d'une rotation par une réflexion est soit une réflexion, soit une réflexion glissée

6. déduire de ce qui précède qu'il n'y a que 4 types d'isométries, les translations, les rotations , les réflexions et les réflexions glissées

bonsoir

J'essaie d'Utiliser le code latex Mais à priori, ça ne marche pas (en tout cas quand je visualiser) et pourtant j'ai installé le programme MIKTEX sur mon ordi voila ce que ça donne en Utilisant Inserer Une equation pour un vecteur
[tex]\overrightarrow U[/tex]

que dois je faire de plus pour que cela fonctionne ?

[EDIT]
Voilà ton vecteur U...
Tu avais écris \ (overrightarrow U) : ça ne peut pas marcher. Le backslash ne doit pas être séparé du mot-clé :
[tex]\ (overrightarrow U)[/tex]
Si tu déplaces les parenthèses ainsi (\overrightarrow U), ça fonctionne : [tex](\overrightarrow U)[/tex]

Et voilà un vecteur AB : [tex]\overrightarrow{AB}[/tex]

Yoshi

Bonjour ,

voilà un exo que jai commencé et je bloque sur la dernière question pouvez vous m'aider svp ?

ABC est un triangle. A' est le milieu de [BC]  O le centre du cercle circonscrit à ABC et G son centre de gravité
1. on considère le point H tel que OH=OA+OB+OC ( ce sont des vecteurs)

a montrer que AH = 2 OA'

OH=OA+OB+OC
OH-OA=OB+OC
OH+AO= OA'+A'B+OA'+A'C
AO+OH=2OA'+ A'B+A'C
or A'B +A'C = O car A' milieu de [BC]

donc AH= 2OA'

b. en déduire que H est l'orthocentre de ABC

definition : dans un triangle, les hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle
 
les vecteur Ah et OA' sont colinéaires
les droites (AH) et (OA') sont donc parallèles
or la droite (OA') est la médiatrice de[BC] donc (OA') est orthogonale à (BC)
comme (AH) et (OA') sont parallèles, il en résulte que (AH) est orthogonale (BC)
la droite (AH) est donc la hauteur issue du sommet A dans le triangle ABC

de même pour (BH) et (CH)
donc H est orhtocentre

C. Montrer que OH+3OG

OH = OA+OB+OC
OH = OG+GA + OG+GB + OG+GC
OH = 3 OG + GA +GB+GC
or G est le centre de gravité donc GA+GB+GC=O
donc OH = 3 OG

d. qu'en déduit on à propos de O H et G
OH=3OG signifie que les vecteurs OG et OH sont colinéaires et que les points O, G et H sont alignés

2. A" est le symétrique de H par rapport à A'

a) montrer que AA" = 2 OA"
AH= 2OA'
et HA"= 2A'A" puisque A" est le symétrique de H par rapport à A'
donc
AA"= AH + HA"= 2OA'+2A'A"= 2 ( OA'+A'A") = 2OA"

b) déduisez en que A" appartient au cercle circonscrit à ABC

3. s(bc) désigne la réflexion d'axe (bc) et t HA la translation du vecteur HA

a) montrer que t HA o s(BC) (H1) = A
b) montrer que t HA o s(BC) est une réflexion - quel est son axe ?
c) déduisez que H1 appartient au cercle circonscrit  à ABC
d) montrer que les cercles circonscrits respectivement ABC et HBC sont isométriques

merci de votre aide