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Bonjour,
Je bloque à la question 2 de l'exercice suivant :

1. Quel est l'ordre de 5 dans le groupe [tex](\mathbb{Z}/64\mathbb{Z},+)[/tex] ?

2. Quel est l'ordre du groupe [tex]((\mathbb{Z}/64\mathbb{Z})^*,\cdot)[/tex] ? Quel est l'ordre de 5 dans [tex]((\mathbb{Z}/64\mathbb{Z})^*,\cdot)[/tex] ?

Mes réponses :

1. On cherche un entier k strictement positif tel que 64 divise 5k. Comme 64 est premier avec 5 alors d'après le lemme de Gauss 64 divise k. Donc l'ordre de 5 dans le groupe [tex](\mathbb{Z}/64\mathbb{Z},+) [/tex] est 64.

2. L'ordre de [tex]((\mathbb{Z}/64\mathbb{Z})^*,\cdot)[/tex] est le nombre d'éléments de [tex](\mathbb{Z}/64\mathbb{Z})^*[/tex] soit 63.
   Déterminer l'ordre de 5 dans le groupe [tex]((\mathbb{Z}/64\mathbb{Z})^*,\cdot)[/tex] c'est déterminer le plus petit entier k strictement positif tel que [tex]5^k-1 [/tex] est un multiple de 64. Ici je ne vois pas bien comment déterminer un tel k. Pourriez-vous m'indiquer une piste de recherche s'il vous plaît ?

Merci et bonne fin d'après midi.

Bonjour,
L'objectif de cet exercice est de déterminer un polynôme P(X) du septième degré tel que P(X)+1 soit divisible par [tex](X-1)^4[/tex] et que P(X)-1 soit divisible par [tex](X+1)^4[/tex].

1. Donnez une forme possible du polynôme dérivé P'(X).

2. En déduire une expression de P à une constante près.

3. En utilisant une relation entre P(1) et P(-1), déterminer l'expression de P.

J'ai un souci avec la question 2 car j'obtiens une expression de P à deux constantes près et non une constante près.
Une constante qui vient du coefficient dominant de P' et une constante d'intégration pour passer de P' à P.

1. Il existe deux polynômes Q et H tels que [tex]P(X)+1=(X-1)^4Q[/tex] et [tex]P(X)-1=(X+1)^4H[/tex].
   Donc [tex]P'(X)=(X-1)^3(4Q+(X-1)Q')[/tex] et [tex]P'(X)=(X+1)^3(4H+(X+1)H')[/tex].
   On en déduit que  [tex]P'(X)[/tex] est divisible par [tex](X-1)^3[/tex] et par [tex](X+1)^3[/tex]. Comme [tex](X-1)^3[/tex] et [tex](X+1)^3[/tex] sont premiers entre eux alors d'après le lemme de Gausse [tex]P'(X)[/tex] est divisible par [tex](X-1)^3(X+1)^3[/tex].
   Comme [tex]P[/tex] est de degré 7 alors [tex]P'[/tex] est de degré 6 donc il existe une constante [tex]\lambda[/tex] non nulle telle que [tex]P'(X)=\lambda (X-1)^3(X+1)^3[/tex].

2. La deuxième constante vient de l'intégration de [tex]P'[/tex]. J'ai donc deux constantes et non une. Je ne vois pas comment passer à une seule constante.
   Merci pour votre aide.

Bonjour,
Je cherche à justifier [tex]\dfrac{e^{-nx}}{n+1}\rightarrow +\infty[/tex] quand [tex]n\rightarrow +\infty[/tex] et [tex]x<0[/tex].
Je me demande ce qui est attendu par un correcteur. La "référence" est me semble-t-il [tex]\dfrac{
e^x}{x^n}\rightarrow +\infty[/tex] quand [tex]x\rightarrow +\infty[/tex] et [tex]n[/tex] est un entier.

Je souhaiterais savoir si la manière de rédiger ci-dessous est correcte et "standard" :
On pose [tex]X=-nx[/tex] donc [tex]\dfrac{e^{-nx}}{n+1}=-x\dfrac{e^X}{X-x}[/tex]. De plus [tex]X-x\underset{+\infty}{\sim} X[/tex] donc [tex]-x\dfrac{e^X}{X-x}\underset{+\infty}{\sim} -x\dfrac{e^X}{X}[/tex] donc [tex]\underset{X\rightarrow +\infty}{\lim}-x\dfrac{e^X}{X-x}=\underset{X\rightarrow +\infty}{\lim}-x\dfrac{e^X}{X}=+\infty[/tex].

Merci pour vos remarques sur la rédaction.

Bonjour,
Je me pose la question suivante : si le polynôme minimal est scindé, en est-il de même du polynôme caractéristique ?
En effet, on considère [tex]\mu_f[/tex] le polynôme minimal et [tex]\chi_f[/tex] le polynôme caractéristique d'un endomorphisme [tex]f[/tex] d'un [tex]\mathbb{K}[/tex] espace vectoriel [tex]E[/tex] de dimension [tex]n[/tex].

Sachant que [tex]\chi_f[/tex] est un multiple de [tex]\mu_f[/tex], on peut dire qu'il existe un polynôme [tex]Z[/tex] tel que [tex]\chi_f=\mu_f Z[/tex]. A priori [tex]Z[/tex] peut contenir dans sa décomposition en polynômes irréductibles, un polynôme irréductible de degré strictement plus grand que 1 (si [tex]\mathbb{K}[/tex] est le corps des réels, un polynôme de degré 2 à discriminant strictement négatif). Donc je dirai que [tex]\mu_f[/tex] scindé n'implique pas [tex]\chi_f[/tex]  scindé.

Cette question m'est venue en étudiant une preuve du résultat suivant : "la dimension du sous-espace caractéristique associé à la valeur propre [tex]\lambda[/tex] de [tex]f[/tex] est égale à la multiplicité de [tex]\lambda[/tex] dans le polynôme caractéristique de [tex]f[/tex]".
Dans cette preuve, si [tex]\alpha[/tex] est la multiplicité algébrique de [tex]\lambda[/tex] et [tex]Q[/tex] est tel que [tex]\chi_f=(X-\lambda)^{\alpha} Q[/tex] (on a donc [tex]Q(\lambda)\neq 0[/tex]) alors on peut décomposer [tex]E[/tex] comme la somme directe de [tex]N_\lambda=\ker (f-\lambda id_E)^{\alpha}[/tex] et [tex]G=\ker Q(f)[/tex]. On définit ensuite [tex]f_{\lambda}[/tex] comme l'endomorphisme induit par [tex]f[/tex] sur [tex]N_\lambda[/tex]. On a donc [tex](X-\lambda)^{\alpha}[/tex] qui est un polynôme annulateur de [tex]f_{\lambda}[/tex]. Comme [tex]\mu_f[/tex] est un diviseur de [tex](X-\lambda)^{\alpha}[/tex], non constant car [tex]f_{\lambda}  [/tex] n'est pas l'endomorphisme nul, alors [tex]\mu_f[/tex] est de la forme [tex](X-\lambda)^{\beta}[/tex] avec [tex]1\leq\beta\leq \alpha[/tex].

C'est à ce moment là où ça bloque pour moi car on en déduit que [tex]\chi_f[/tex] est de la même forme que [tex]\mu_f[/tex], autrement dit, une puissance de [tex](X-\lambda)[/tex]. Or comme expliqué plus haut [tex]\chi_f[/tex] est théoriquement de la forme [tex](X-\lambda)^{\beta}Z[/tex] avec [tex]Z[/tex] qui peut contenir un facteur irréductible de degré strictement supérieur à 1.

Je me dis que si l'on réfléchit avec [tex]\mathbb{K}=\mathbb{R}[/tex] et que l'on a un donc un facteur irréductible de degré strictement supérieur à 1 alors c'est que c'est un facteur de degré 2 de discriminant strictement négatif, qui admet donc deux racines complexes conjuguées. Or [tex]\mu_f[/tex] et [tex]\chi_f[/tex] ont les mêmes racines et [tex]\mu_f[/tex] n'admet qu'une seule racine [tex]\lambda[/tex] alors nécessairement [tex]Z[/tex] n'admet que des facteurs irréductibles de degré 1 de la forme [tex](X-\lambda)[/tex].

Par contre si le corps [tex]\mathbb{K}[/tex] est quelconque, on peut considérer une cloture algébrique de [tex]\mathbb{K}[/tex] et raisonner de façon similaire ?

Merci.