Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Merci Yassine, je pense que le problème tel que posé est solvable comme tu le proposes.

Ceci dit, il y a un membre d'un autre forum qui me l'a reformulé d'une façon intéressante :

"Il s'agit donc juste d'un système d'équations linéaires $d_i=x_i+x_{i+1}$ pour $i=1,\ldots,n-1$ de rang $n-1$ à $n$ inconnues (les $x_i$) dont on se demande s'il a une solution à composantes toutes positives ou nulles."

Ce qui déjà me rappelle aussi l'algorithme d'élimination de Gauss. Cette personne ajoute :

"Il est très facile d'exprimer les solutions en fonction de la variable libre $x_1$, par exemple, et on trouve la condition nécessaire et suffisante suivante : Soit $m=\max(0, d_1-d_2, d_1-d_2+d_3-d_4,\ldots)$ et $M=\min(d_1, d_1-d_2+d_3,d_1-d_2+d_3-d_4+d_5,\ldots)$. Il existe une solution du système à composantes toutes positives ou nulles si et seulement si $m\leq M$, et dans ce cas on peut prendre la solution déterminée par $x_1=(m+M)/2$."

Je n'ai pas réussi à comprendre comment - en l'occurrence l'algèbre linéaire - a permis d'en arriver là. Je n'ai pas de réponse comment traiter les cas de nombre pair/impair de $d_i$.

De plus, je risque bien de subir une complexification du problème ; nous avons p.ex. $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7,x_8, x_9$ et nous imposons encore des règles égalant certains $x$, du genre :
$x_2=x_3=x_9$
et $x_1=x_5$
les autres $x$ restant libres.

A vue de nez, l'algorithme d'élimination de Gauss pourrait résoudre ça, qu'en penses-tu ? Mais au hic près qu'il me faut à tout prix des $x >= 0$...

A+  :)

Bonjour

Les d cumulent, c'est-à-dire que pour ton exemple : $d_2^2$ = $d_2^1$ - x - y

Voilà  :)

OK, alors :

Nous avons n valeurs valant initialement 0 : $R_1^0$, $R_2^0$.. $R_n^0$ = 0
Nous avons n-1 autres valeurs étant initialement >=0 (et peuvent être différentes les unes des autres) : $d_1^0$, $d_2^0$ .. $d_{n-1}^0$ >=0.

Il faudrait que - par une formule, un algorithme ou n'importe quel moyen - j'annule toute cette dernière série de valeurs, c'est-à-dire que (disons après l’itération p) : $d_1^p$ = $d_2^p$ = .. = $d_{n-1}^p$ =0.

Je dois à ce sujet respecter/employer la règle suivante (pour une itération k quelconque) :

Si $R_i^{k+1}$ = $R_i^k$ + x (avec x réel, >=0)

Alors $d_i^{k+1}$ = $d_i^k$ - x et $d_{i-1}^{k+1}$ = $d_{i-1}^k$ - x ; valable pour 1<i<n
Pour i=1 : $d_1^{k+1}$ = $d_1^k$ - x
Pour i=n : $d_{n-1}^{k+1}$ = $d_{n-1}^k$ - x

Nous travaillons avec des nombres réels positifs ou nuls que ce soit les valeurs R ou d merci bien  :-)

Bonjour et merci de ta réponse.

J'ai entre-temps reformulé le problème, peut-être que cela n'était pas à jour dans ton navigateur. Voici donc :

J'ai une série de valeurs >=0, que je nomme di (i : 1->n-1). Le problème est de trouver une autre série de valeurs, Ri >=0 (i : 1->n), telles que :

Ri + Ri+1 = di.

Et surtout rien de négatif dans l'histoire merci.

En espérant que ce soit clair. Et en fait de langage, ma préférence serait le perl  :)

A+, cordialement,

dike

Bonjour après cette courte pause estivale.

leon1789 est-il dans les parages ? Je demande ça car j'essaye de comprendre par quel cheminement on aboutit à ces germes de départ.

A+ & cordialement,

dike

Merci bien, Yassine, et pourrais-tu stp encore m'indiquer un bon livre - si possible en français - pour les méthodes variationnelles ? Si j'ai bien compris, il concernera du coup nécessairement la théorie des perturbations, ou alors faudra-t-il que tu me conseilles deux ouvrages...

A+

Dike   :)

Super, je ne connaissais pas la méthode de Newton :-) c'est très intéressant !!

Encore mieux,

Mais je n'ai pas compris comment tu arrives à cette formule de tan(2b). Peux-tu stp m'expliquer ?

A+ j'espère

Attends,

Je crois que l'on peu raisonner comme suit (en terme de "variation de pente", ou "pente de la pente", ce qui rejoint la définition) :

Si on cherche [tex]\frac{\partial a\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}[/tex] pour un point (x,y) précis,

Et que l'on connaît les 4 valeurs suivantes :

a(x-dx₁,y-dy₁)
a(x+dx₂,y-dy₁)
a(x-dx₁,y+dy₂)
a(x+dx₂,y+dy₂)

Alors, sachant que la pente en y=y-dy₁ vaut : p₁=[tex]\frac{a(x+dx2,y-dy1)-a(x-dx1,y-dy1)}{dx1+dx2}[/tex]
Et, sachant que la pente en y=y+dy₂ vaut : p₂=[tex]\frac{a(x+dx2,y+dy2)-a(x-dx1,y+dy2)}{dx1+dx2}[/tex]

Alors, la variation de cette pente, c'est-à-dire [tex]\frac{\partial a\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}[/tex] vaut là [tex]\frac{p2-p1}{dy1+dy2}[/tex]

Donc [tex]\frac{\partial a\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}[/tex] ~ [tex]\frac{a(x+dx2,y+dy2)-a(x-dx1,y+dy2)-a(x+dx2,y-dy1)+a(x-dx1,y-dy1)}{(dx1+dx2)(dy1+dy2)}[/tex]

Il me paraît logique que cela tende vers la définition exacte si dx₁, dx₂, dy₁, dy₂ tendent vers zéro, qu'en penses-tu stp ?

A+

dike