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#1 Entraide (supérieur) » Algèbre de Weyl » 13-12-2016 16:41:34
- Sophonisbe
- Réponses : 1
Bonjour,
Je commence à étudier l'algèbre de Weyl, l'anneau engendré par la multiplication et les dérivations, qu'on note $A_{n}(K)=K<x_1,...x_n,\partial_1,...,\partial_n>$
J'ai un soucis au niveau de la démonstration de l'énoncé suivant : Tout élément de $A_{n}(K)$ s'écrit de manière unique $P=\sum c_{\alpha \beta}x^{\alpha}\partial^{\beta}$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des multiindices.
L'existence est facile, je peux toujours "pousser" les opérateurs dérivées à droite.
Je ne comprends pas l'unicité. On veut montrer que la famille est libre. Je suppose que la somme est nulle et que les $c_{\alpha \beta}$ ne le sont pas.
Dans mon cours, il y a écrit :
«
$\gamma_1=$sup$\left\{\beta_{1} ; c_{\alpha \beta_1 \beta_2... \beta_n \neq 0}\right\}$
$\gamma_2=$sup$\left\{\beta_2 ; c_{\alpha \gamma_1 \beta_2 ... \beta_n \neq 0}\right\}$
...
$\gamma_n=$sup$\left\{\beta_n; c_{\alpha \gamma_1 ... \gamma_{n-1} \beta_n \neq 0}\right\}$
Alors, en appliquant la somme à $x^{\alpha}$, on a $P=\sum c_{\alpha \gamma}\gamma ! x^{\alpha}=0$ »
Je ne comprends pas la dernière égalité, si quelqu'un peut m'éclairer, merci !
#2 Re : Entraide (supérieur) » extraction diagonale » 01-02-2015 19:40:33
OK merci beaucoup !
#3 Entraide (supérieur) » extraction diagonale » 31-01-2015 15:36:43
- Sophonisbe
- Réponses : 2
Bonjour,
J'essaye de résoudre un exercice portant sur les suites de carré sommable, mais je bloque sur une question, qui est la suivante~:
« On considère l'espace [tex]C=\{x \in l^2 ; |x_n| \leq 1/n \}[/tex]. Montrer que [tex]C[/tex] est fermé et borné. [tex]C[/tex] est-il compact ? »
J'ai réussi à faire la partie fermé borné. J'ai commencé à rédiger sur les indications de l'enseignant la réponse de C compact, mais je bloque sur le procédé d'extraction diagonale, que j'ai vraiment du mal à saisir. Voici le début de ma réponse~:
Soit [tex]x=(x^{(n)})_n \in C[/tex]. À [tex]k[/tex] fixé, [tex](x^{(n)}_{k})_{n}[/tex] est une suite réelle telle que [tex]|x^{(n)}_{k}| \leq 1/k \leq 1[/tex] ; le théorème de Bolzano-Weierstrass nous assure que [tex](x^{(n)}_{k})_{n}[/tex] admet une sous-suite qui converge, qu'on note [tex]y_k[/tex].
Pour [tex]k=1[/tex], soit [tex]\phi_1[/tex] une extractrice telle que [tex](x^{\phi_1(n)}_{k})_{n}[/tex] converge vers [tex]y_1[/tex].
Pour [tex]k=2[/tex], soit [tex]\phi_2=\phi_1 \circ \phi_2[/tex] une extractrice telle que [tex](x^{\phi_2(n)}_{k})_{n}[/tex] converge vers [tex]y_2[/tex].
[tex]\vdots[/tex]
Pour [tex]k=l[/tex], soit [tex]\phi_l=\phi_1 \circ \phi_2 \circ \dots \circ \phi_l[/tex] une extractrice telle que [tex](x^{\phi_l(n)}_{k})_{n}[/tex] converge vers [tex]y_l[/tex].
Je me suis arrêtée là. Je ne comprends pas très bien où est la «diagonale ». Je ne comprends pas non plus qui va être ma sous-suite ni vers quoi elle va converger.
Y aurait-il une âme chartiable pour m'aider à finir cette question ? D'avance je vous remercie.
#4 Re : Entraide (supérieur) » Espaces de Banach » 06-09-2014 20:36:34
#5 Re : Entraide (supérieur) » Espaces de Banach » 06-09-2014 18:20:17
On aurait alors [tex]\phi(n)=N_0(\epsilon)[/tex] ? [tex]\phi [/tex]ne servirait qu'à décrire l'existence du rang [tex]N_0(\epsilon)[/tex] ?
Je reprends les maths, j'ai du mal...
#6 Entraide (supérieur) » Espaces de Banach » 05-09-2014 17:36:26
- Sophonisbe
- Réponses : 4
Salut,
Je cherche à comprendre la preuve du théorème suivant :
« Soit (E,||) un evn. Alors on a équivalence entre~:
1)(E,||) est c omplet
2)Si u [tex]\in E^\mathbb{N}[/tex], alors [tex]\sum_{n \in \mathbb{N}}||u_n||[/tex] converge [tex]\rightarrow \sum_{n \in \mathbb{N}}u_n [/tex]converge
»
Le sens 1) vers 2), j'ai compris.
Le sens 2) vers 1), j'ai du mal sur un point assez bête...
Soit u une suite de Cauchy de E. Par définition, il existe une application [tex]\phi:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}[/tex] strictement croissante telle que [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex], on a [tex]\forall m \ge n[/tex], [tex]||u_m - u_{\phi (n)}|| \leq 2^{-n}[/tex]
Je ne vois pas d'où vient l'existence d'une telle application...
Merci
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