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#1 Re : Entraide (collège-lycée) » Suite numérique » 23-09-2014 12:36:50
bonjour
moi aussi cette histoire de domaine de définition m'a aussi travaillé un bon bout de temps. C'est pour ça que j'ai proposé l'exercice dans ce forum.
en premier j'ai commencé à calculer U0 U1 U3 comme étant les 3 1ers termes de la suite mais je me suis rendu compte
que pour n = 6, U6 n'aurait pas d'antécédent! Là y avait problème d'autant plus que la question à venir était de démontrer une décroissance!
Alors j'ai bouquiné (eh oui Yoshi moi aussi!), j'ai consulté pas mal de doc et cours du lycée aux classes prepa! Mais c'est vrai, la grande majorité ne s'attarde pas sur le domaine de définition considérant ce dernier comme un élément de détail et l'important d'une suite c'est de connaitre son allure quand n est de plus en plus grand. Mais comme on dit "le diable se cache dans le détail!"
Bref après m'être documenté (et c'est vrai seul wikinivest en parle en détail) j'ai trouvé qu'il y avait deux termes forts qui revenaient souvent et qui m'ont poussé à résoudre l'exercice en prenant comme domaine départ {7;8;9;....}.
D'abord le terme application (chaque élément de l'ensemble de départ a une image dans l'ensemble d'arrivée !)
et ensuite la notation suivante : [tex](u)_{n\geq{n_0}}[/tex]
donc il y a "application" à partir d'un ensemble "où n est plus grand ou égale qu'un entier n0" , ça m'a convaincu (à la différence de Yoshi!) de resoudre mon exercice comme je l'ai fait
à plus
#2 Re : Entraide (collège-lycée) » Suite numérique » 22-09-2014 20:48:27
J'ai pas compris ta dernière observation
Si en plus la definition donnée par notre ami ymagnyma n'arrive pas à te convaincre. Cette
définition il l'a pas crée, elle est presente dans pas mal de cours sur les suites. Consulte Wikipedia par exemple
Pour la suite on parle d'application d'un ensemble d'entier sup ou egal à no! C'est à partir de là que
j'ai deduit l'impossibilité d'avoir "des trous" dans le domaine de def
Et pour pas faire de jaloux....Merci à toi aussi pour l'intérêt
Ps:J'ai corrigé mon message j ai pas vu "au plus"... donc ta définition de la fonction est OK
#3 Re : Entraide (collège-lycée) » Suite numérique » 22-09-2014 20:15:37
Merci ymagnyma de confirmer mon résultat
#4 Re : Entraide (collège-lycée) » Suite numérique » 22-09-2014 16:57:23
merci pour la réponse
il y a la question de la monotonie intercalée entre les 2 et que j'ai sauté pour pas surcharger à part ça non
pour la suite j'ai pas saisi tes interrogations
on peut pas calculer pour n=0 , 1, 2, 3, 4 ou 5 car ces nombres ne font pas partie du domaine de définition de la suite
c'est là peut être le piège de cet exercice et c'est quand j'ai vu qu'on pouvait pas avoir [tex]u_6[/tex], j'en ai déduis que
[tex]u_7[/tex],[tex]u_8[/tex] et [tex]u_9[/tex] sont les trois 1ers termes de cette suite et non pas[tex]u_0[/tex][tex]u_1[/tex]et [tex]u_2[/tex]
#5 Re : Entraide (collège-lycée) » Suite numérique » 22-09-2014 15:37:42
la suite est décroissante car [tex] u_{n+1}-u_n=\frac{-7}{(n-5)(n-6)}[/tex] est négatif ([tex]n\geq7[/tex])
et comme limite est 1 pour n tendant vers l'infini on btient le résultat recherché et donc pas besoin de montrer qu'elle est minorée
et pour la 1ere question, pas d'avis, le domaine défintion est il correct
#6 Entraide (collège-lycée) » Suite numérique » 22-09-2014 10:34:05
- ali55
- Réponses : 17
Bonjour
merci de vérifier avec moi la réponse aux deux questions de la suite suivante:
Soit la suite définie par :[tex]u_n=\frac{n+1}{n-6}[/tex]
1/ Calculer les trois premiers termes de cette suite
2/ montrer, pour n entier, on a : [tex] 1\leq u_n\leq8[/tex]
Pour répondre à la question 1, il faut d'abord déterminer le domaine de définition qui est D={7;8;9;...} ou n>6
donc les 3 premiers termes sont
[tex]u_7=8[/tex], [tex]u_8=\frac{9}{2}[/tex] et [tex]u_9=\frac{10}{3}[/tex]
pour la 2ème question, la suite (Un) étant décroissante avec 1er terme = 8 et sa limite quand n tend vers + infini est 1
j'en déduit l'encadrement demandé à savoir
[tex] 1\leq u_n\leq8[/tex], pour tout [tex]n\geq7[/tex]
merci pour vos réponses
#7 Re : Entraide (supérieur) » Système équation et recurrence » 13-09-2014 12:50:16
Totomn, ta reponse suppose une double Initialisation à n= 0 et n= 1. Non?
Merci
#8 Re : Entraide (supérieur) » Système équation et recurrence » 13-09-2014 08:33:57
bonjour,
Non, il est bien spécifié dans l'énoncé de prouver par récurrence l'existence de solutions appartenant à l'ensemble N quelque soit n.
j'ajouterai pour plus de précision, je l'ai calculé aussi pour n=1 et j'ai trouvé [tex]a_1=2 ; b_1=1[/tex] et
pour n=2 : [tex]a_1=7 ; b_1=4[/tex]
#9 Entraide (supérieur) » Système équation et recurrence » 12-09-2014 22:17:52
- ali55
- Réponses : 8
bonsoir,
c'est un exercice que j'ai commencé à résoudre mais j'ai l'impression avoir pris la mauvaise clé car je bloque après quelques phases:
énoncé: resoudre par récurrence le système suivant:
quelque soit n de N, il existe [tex]a_n, b_n[/tex] entiers naturels tel que:
[tex](2+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}[/tex]
[tex](a_n)^2-3(b_n)^2=1[/tex]
Résolution:
Initialisation n=0,
[tex](2+\sqrt{3})^0=a_0+b_0\sqrt{3}[/tex]
[tex](a_0)^2-3(b_0)^2=1[/tex]
solution évidente : [tex]a_0=1; b_0=0[/tex]
Hérédité: on suppose le système admettant une soln au rang n, et doit le démontrer au rang n+1
[tex](2+\sqrt{3})^{n+1}=a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{3}[/tex]
[tex](a_{n+1})^2-3(b_{n+1})^2=1[/tex]
[tex](2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n=a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{3}[/tex]
[tex](a_{n+1}-b_{n+1}\sqrt{3})(a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{3})=1[/tex]
Là je bloque
merci pour l'aide
#10 Re : Entraide (collège-lycée) » démonstration par l'absurde » 09-09-2014 21:15:41
bonsoir,
désolé pour le retard de réponses,
merci pour l'interet yoshi mais je commence à douter de ce j'ai fait! j''ai une obs concernant ta démo:
à partir de ton resultat 1 inf à 1 + 1/k-1 inf à 2, on utilise la croissance de la fct racine d'où:
1 inf à racine(1 + 1/k-1) inf à racine 2 et donc termine ta démonstration en observant que ce nombre ne peut être entier
#11 Re : Entraide (collège-lycée) » démonstration par l'absurde » 07-09-2014 21:10:09
Bonsoir,
accompagné d'un rapport irréductible et d'une racine a est non entier, et c 'est ce que j'ai dit (rationnel ou non la question ne se pose pas) et comme par hypothèse il appartient à
N, d'où la contradiction recherchée.
#12 Re : Entraide (collège-lycée) » démonstration par l'absurde » 06-09-2014 21:11:49
Bonsoir,
Oui freddy la demo par l'absurde est imposée ds l'énoncé mais ce que tu fais est proche de ma solution.
Yoshi, j'ai pas bien compris ton dernier post
#13 Re : Entraide (collège-lycée) » démonstration par l'absurde » 04-09-2014 11:50:29
bonjour
merci pour la réponse
mais qui nous dit que cette décomposition des 2 membres est sous forme de facteurs premiers ?
#14 Re : Entraide (collège-lycée) » démonstration par l'absurde » 02-09-2014 17:03:42
Tu peux detailler ton résultat ?
#15 Re : Entraide (collège-lycée) » démonstration par l'absurde » 02-09-2014 08:50:20
bonjour
pourquoi arriver à conclure que [tex]a = b\sqrt {1+\frac {2}{k-1}}[/tex] est non entier est en contradiction
avec l'hypothèse de départ a élément de N n'est pas suffisant ?
#16 Re : Entraide (collège-lycée) » démonstration par l'absurde » 01-09-2014 21:31:06
Une autre voie :
[tex]\frac {k+1}{k-1} =1+\frac {2}{k-1}[/tex]
Deux cas
pour k #2, le rapport est non entier
pour k=2 [tex]a=b\sqrt {3}[/tex] donc a non entier
ce qui est en contradiction avec a appartenant à N
dans les 2 cas la proposition est donc vraie
Si quelqu'un a une demo plus rigoureuse elle sera la bienvenue
merci
#17 Re : Entraide (collège-lycée) » démonstration par l'absurde » 01-09-2014 20:53:30
Merci
oui tu as raison le rapport est postif
Je dois tout revoir. compteur à zéro pour moi!
#18 Entraide (collège-lycée) » démonstration par l'absurde » 01-09-2014 18:28:01
- ali55
- Réponses : 23
Bonjour,
J'ai essayé de resoudre un exercice. Je n'ai pas le corrigé, aussi je vous demande si j'ai faux.
l'énoncé :
Soient 2 entiers naturels tq a soit strictement supérieur à b
montrer que [tex] \frac {a^2+b^2}{a^2-b^2}[/tex] n'appartient pas à N.
ce que j'ai fait:
D'abord rectifié l'énoncé car pour b=0, la proposition ne tient pas!
Donc je suppose b supérieur strictement à zéro
Résolution:
On suppose que [tex]\frac {a^2+b^2}{a^2-b^2} = k[/tex] appartenant à N
on remarque que[tex]k[/tex] entier est nécessairement supérieur ou égal à 2
après calcul on aboutit à:
[tex]\frac {a^2}{b^2}=-\frac {k+1}{k-1}[/tex]
ce rapport etant negatif avec d'où la contradiction
Donc la proposition est vraie
merci pour vos observations
#19 Re : Entraide (collège-lycée) » inégalité à demontrer » 31-08-2014 10:51:03
bonjour,
je pensais qu'il y avait plus simple à faire ( sans passer par une étude de fonction ...)
en tous cas merci pour vos reponses
#20 Re : Entraide (collège-lycée) » orthogonal / orthonormé » 30-08-2014 22:06:32
Bonsoir
pour moi en tous cas orthogonal et OI = OJ équivaut à un plan orthonormal
donc on peut calculer les distances selon le même procédé
#21 Re : Entraide (collège-lycée) » inégalité à demontrer » 30-08-2014 20:01:47
je vous presente ce que j'ai fait mais sans résultats!:
[tex]x\leq1[/tex] (car x+y=1)
[tex]\frac{1}{x^n}\geq1[/tex]
[tex]1+\frac{1}{x^n}\geq2[/tex]
même chose pour y d'où:
[tex]1+\frac{1}{y^n}\geq2[/tex]
en faisant le produit des 2 inégalités, j'obtiens
[tex](1+\frac{1}{x^n})(1+\frac{1}{y^n})\geq2^2[/tex]
Là je bloque je me suis gouré dans une mauvaise piste?!
#22 Entraide (collège-lycée) » inégalité à demontrer » 30-08-2014 18:36:56
- ali55
- Réponses : 7
Bonjour
Je cale sur l'exercice suivant:
soient x et y 2 réels positifs et x+y=1, n entier naturel
montrer que:
[tex](1+\frac {1}{x^n})(1+\frac {1}{y^n})\geq (1+2^n)^2[/tex]
Si quelqu'un a une indication, elle sera la bienvenue
merci
#23 Re : Entraide (collège-lycée) » inéquation avec racine » 30-08-2014 18:22:46
Merci les amis pour l'intérêt
Bien sûr que j'ai arrondi
le " vrai " c'etait 0,304......
#24 Re : Entraide (collège-lycée) » inéquation avec racine » 29-08-2014 17:17:43
bonjour
pourquoi se limiter à [tex]]0,1[[/tex] alors que l'ensemble de solution est plus large
il s'agit d'une inéquation donc cette dernière est satisfaite pour tout x de [tex][-1;0,3[[/tex]
#25 Re : Entraide (collège-lycée) » inéquation avec racine » 29-08-2014 06:31:22
merci
en effet c'est ce que j'ai fait, mais avec erreur
jai repris les calculs et l'intervalle de solution est plutôt: [tex][-1;0,3[[/tex]